整体或局部:手撕矩阵:从零开始
承接上节:
最珍贵的东西通常是免费的，比如阳光，水，空气，人们一刻也无法离开它们。
___buddha
彼此彼此，从现实中来，回到现实中去。
2 实例计算
万剑归宗，万物归一。
2.0 几个例子简单说明
加,减,乘,数乘
加： 具体操作，对应元素相加
A + B 矩阵相加时，必须同类型
A =(-1 2 2
2 2 -1
2 -1 2 )
B = (1 0 0
0 1 0
0 0 1)
A + B = (0 2 2
2 3 -1
2 -1 3)
减 与加规则相同
数乘 又称为矩阵广播
A = [-1 2 2
2 2 -1
2 -1 2]
2A = [-2 4 4
4 4 -2
4 -2 4]
加法和数乘的性质
设 A，B，C，D是同型矩阵，k，l是数，则
1), A + B = B + A
2), (A+B) + C = A + (B+C)
3), A + O = A
4), A +(-A) = O
5), 1A = A
6), k(lA) = (kl)A
7), (k+l)A = kA + lA
8), k(A+B) = kA + kB
9), kA = O <--> (k=0 或 A = O)
k !=0 且 A != 0, 则 kA != O, 这与kA=O 矛盾
2.1 矩阵乘
条件: 第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数.
当AB 或 BA 不满足矩阵乘的条件时，称AB 或 BA无意义
A = (a_ij) m*s
B = (b_ij) s*n
A 与 B的乘积是一个 m * n 的矩阵
C = (c_ij) m*n,其中
c_ij = ai1b1j + ai2b2j + ... + a_is*b_sj = 𝞢(k=1,s)a_ik*b_kj
记为 C = AB
称AB为 以A左乘B，或 B右乘A
即 A的第i行 与 B的第j列的 全部元素分别求乘积的和，为新的矩阵的 第i行第j列的 元素值
AB = O 不能 推断 A 或 B = O
*定义: A 与 B可交换
AB 和 BA 都意义，且结果相等，称A与B可交换
矩阵乘的性质:
设k是数，A，B，C是矩阵，如果以下各式，一端有意义，另一端也有意义，并且等式成立 1,(AB)C = A(BC) 2,A(B+C) = AB+AC (A+B)C = AC+BC 3,(kA)B = k(AB) = A(kB) 设A1,A2,...,As 是矩阵，且对于任意 i =1, ..., s-1, A_jA_j+1都有意义，则连乘A1A2...As也有意义 例如: A = [-1 2 2 2 2 -1 2 -1 2] B = [0 0 1 0 1 0 1 0 0] 各元素值: ab11 = -1 *0 + 2 * 0 + 2 * 1 = 2 //第一行第一列的值 A的一行各值乘 B 的一列的和 ab12 = -1 *0 + 2 * 1 + 2 * 0 = 2 //第一行第二列的值 A的一行各值乘 B 的二列的和 ab13 = -1 *1 + 2 * 0 + 2 * 0 = -1 //第一行第三列的值 A的一行各值乘 B 的三列的和 如此类推...最后得到:
AB = [ 2 2 -1 -1 2 2 2 -1 2 ]
2.2 转换
转置
原矩阵A 的行变列，列变行产生的新矩阵(沿左上到右下对角线翻转) A^T ，称为A的转置
A = (1 2
3 4)
A^t = (1 3
2 4)
初等变换 矩阵间的三种关系，等价，相似，合同。 形散而神不散
线性方程组的解决工具，矩阵，行列式，向量
特殊矩阵 比如:方阵 3 x 3
可逆与不可逆
判断矩阵是否可逆,若A可逆，求A^-1
A=(1 2 3
2 2 1
3 4 3)
解 初等变换转换为 上三角矩阵，其行列式为
|A| = |1 2 3 |
|0 -2 -5|
|0 0 -1|
= 2 != 0
所以矩阵A可逆
2.3 获取矩阵特征值
例如有矩阵如下:
A = （-1 2 2
2 2 -1
2 -1 2）
当且仅当 <=>
A*->v = λ*->v
这个非零向量 ->v 就是特征向量，λ 就是特征值。
矩阵A乘以向量 v
单位矩阵再乘以向量v
->O = λI_n*->v - A*->v
->O = (λI_n - A)*->v
定理：单位矩阵乘以向量v 就等于向量v
那么 -A*->v 就是把矩阵A乘以向量v 从方程两边减掉。
(λI_n - A)*->v = ->O (方程式 I)
I_n 表示单位矩阵
->O 表示零向量
->v 表示向量v
它可以说是，列不是独立线性的，或者行列式为0，或是说 非线性的，或是说矩阵不是可逆的。
λ是矩阵A的特征值，当且仅当以上条件成立。
对于某非零向量，当且仅当λ乘以单位矩阵 I_n 减去矩阵A的行列式等于0，如下:
det(λI_n - A) = 0 (定义 方程式 I)
对于A 这样的 3 阶矩阵，其单位矩阵为
I_3 = [1 0 0
0 1 0
0 0 1]
假设A矩阵的特征值为 λ，那么 R3空间的单位矩阵为
λI_3 =[λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ]
我们根据定义的方程式 I
λI_3 - A = （λ+1 -2 -2
-2 λ-2 λ-2
-2 1 λ-2）
通过增广构造3个对角线，需要增广 第一列和第二列
Right = (1) +(2) +(3) : (λ+1)(λ-2)(λ-2) +(-2*1*-2) +(-2*-2*1)
Left = (A)+(B)+(C): (-2*-2*(λ-2) + (λ+1) +(-2*-2*(λ-2)))
Right - Left = (λ+1)(λ-2)(λ-2) +4 + 4 - [4(λ-2)+λ+1+4(λ-2)]
= P(λ) = λ^3 -3λ^2 -9 λ + 27
如下图：
矩阵A的特征多项式 为 P(λ) 以上。
当λ真正为矩阵A的特征值时，以上多项式的值为 0 也就是
P(λ) = 0
λ^3 -3λ^2 -9 λ + 27 = 0
现在问题变成求3次方程式的根，有两个办法
1 使用数学定理：如果多项式方程有整数解，那么这个根应该是这个常数的某因子。
2 数学定理: 变换方程式
我们变化方程式
λ^2(λ - 3) -9(λ-3) = 0
再次提取因子
(λ-3)(λ^2-9) =0
(λ-3)(λ-3)(λ+3)=0
有两个整数解(3是重根)，因此特征值 λ 是 3和 -3.
2.4 继上: 获取 特征向量
定义:当特征值矩阵乘以它 等于 0，这个向量就是特征向量。
定理： 不可逆的矩阵才有零空间。
只有行列式为零的矩阵具有零空间。
A = [-1 2 2
2 2 -1
2 -1 2]
(λI_n - A)*->v = ->O <=> A->v = λ->v
矩阵乘以特征向量，对于任何特征值必须为0，代入特征值以取得特征向量。
I 式:
λI_3 - A = (λ+1 -2 -2
-2 λ-2 λ-2
-2 1 λ-2)
当 λ = 3时 I式为
3I_3 = [4 -2 -2
-2 1 1
-2 1 1]
当 λ = -3时 I 式变成
-3I_3 = [-2 -2 -2
-2 -5 1
-2 1 -5]
矩阵A对于特征值3的特征空间 ->v 或为该矩阵的零空间。 它是λ 乘以单位矩阵减去矩阵A;
所以此矩阵零空间就是特征空间。 因此满足该方程的所有值构成 λ=3 的特征空间的特征向量。
3I_3*->v = 0
2.5 继上: 获取 特征空间
使用简化行阶矩阵，以此求解零空间，简化3I_3为阶梯矩阵。
[4 -2 -2 --- 行1除以2
-2 1 1 --- *2 + 行1
-2 1 1] --- *2 + 行1
得到
[2 -1 -1
0 0 0
0 0 0
]
设 特征向量 为 ->v
[v1
v2
v3]
期望有:
[2 -1 -1 * [v1 = [0
0 0 0 v2 0
0 0 0 v3 0
] ] ]
得到一个方程如下：
2v1 - v2 -v3 =0
v1 = 1/2(v2+v3) 设 v2 = a, v3 = b
Eλ=3 = {[v1 [1/2 [1/2
v2 = a 1 + b 0 a,b ∈ IR
v3] 0] 1]
}
或λ=3的特征空间，写作如下形式：
Eλ=3 = Spanu([1/2 [1/2
1 0
0] 1])
同理可计算得出，λ=-3的特征空间，写作如下形式
Eλ=-3 = [1 0 2 [v1 [0
0 1 -1 v2 = 0
0 0 0] v3] 0]
因此有
v1 = -2v3
v2 = v3 = t
v1 = -2t
Eλ=-3 = Spanu([-2
1
1] )
现在有两个特征值的特征空间：
Eλ=3 = Spanu([1/2 [1/2
1 0
0] 1])
Eλ=-3 = Spanu([-2
1
1] )
在已知的任何该平面中的单位特征向量 ->x
当施加变换，比如将其乘以 矩阵 A，由于处于特征空间中，特征值为 3 那就是将 ->x 变成 ->3x
矩阵A乘以向量 ->x 就是 A*->x. R3空间
______________
/ ^ /
/ | /
/ /->x /
/ / /
/_____________/
乘A变换后的R3空间
______________
/ ^ /
/ | /
/ /--->Ax /
/ / /
/____________/
本节小结:
本节举例基础计算方式，下一节讨论，计算空间。
不要白嫖，请关注我的持续更新。
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