写在前面

    它们有时候揭示了基础性的错误假设或不正确的推理技巧。 
    它是一个陈述或断言。与直觉和常识冲突，但得到看起来可接受的论证的支持。
    一组看似合理的前提，通过有效逻辑推导，得出了一对自相矛盾的命题。

  ————关于悖论

这里的悖论:  我已经更了新人活动，为什么没有系统消息，靠wx通知 ？
   
   我们从这里开始， 回顾矩阵的常用计算方法，这将有利于理解协议。希望这不会耗费太久。

理解矩阵怎样计算

    知道那是什么很重要，它让我们有了一个抽象概念，一个目标。
    人知道为什么而活，将可以忍受任何磨难。
      ___ 尼采

有些人说线性代数而已，意思是这很简单，这里介绍矩阵，也试着挑战在几个篇幅里总结其基本概念。

第一部分 1 其中的概念:

1.0 线性方程组和高斯消元法

1.0.1    线性方程组的一般形式 (A,b)

      a1x1 + a2x2 + ... + asxs = b1
      ...
      as1x1 + as2x2 + ... + assxs = bs

1.0.2    齐次线性方程组，是b1,b2,…,bs都为0的情况

如果 b1,b2,…,bs 不全为零，那么这个线性方程组不为 齐次方程组
    
关注点:线性方程组的解，可以有三种情况，解是否存在，解是否唯一，解是否有多个。
齐次方程组有非零解的条件

      定理:设 sxn矩阵 A=(a1,a2,...,an) 则齐次线性方程组Ax=0有非零解，
          充要条件是 a1,a2,...,an线性相关当且仅当 r(A)<n
      推论1: s<n时，Asxn=0，必有非零解
      推论2: Anxn=0有非零解当且仅当 |A|=0

• 当行列式为0，即 |A|=0 的时候，同时意味着如下属性

      <=> A不可逆 (又称奇异)
      <=> A的列(行)向量组线性相关
      <=> R(A)<n
      <=> AX=0 有非零解
      <=> A有特征值0.
      <=> A不能表示成初等矩阵的乘积
      <=> A的等价标准形不是单位矩阵
  

齐次方程组解的结构

      * 基础解系的定义
          A=(aij)sxn, Ax=0
          1,若n1，n2是Ax=0的解，则n1+n2也是Ax=0的解
          2,若n是Ax=0的解，k数，则kn 也是Ax=0的解
          若n1,n2,...,nt 是Ax=0的解，且满足
              1), n1,n2,...,nt成线性相关
              2), Ax=0的任一解n均可由n1,...,nt线性表示
              则称n1,n2,...,nt是Ax=0的基础解系。
          通解:k1n1 +k2n2+...+ktnt, ∀ki
          通过将线性方程组转换为 矩阵的 简化阶梯型 来求通解

性质:

   齐次线性方程组 Ax=0 任意解的任意线性组合都是解。
   定理: 若r(Asxn)=r, 则Asxn=0的基础解系中含有n-r个线性无关的解向量。
   定理2: 若r(Asxn)=r,则Asxn=0的任意n-r个线性无关的解向量都是其基础解系。

1.0.3        * 基础解系的求取实例:

例：有线性方程组如下

         x1-x2+x3+x4=0
         -x1+x2+2x3+3x4=0

步骤1: 求取系数矩阵的简化形

         A= [1 -1 1 1
            -1 1  2 3]
         简化阶梯形为:
         Aj=[1 -1 0 -1/3
            0 0  1 4/3]

从简化阶梯型可以看出，x2 和 x4 的系数，在阶梯型中 ‘不是非零首元’，所以通过x2 和 x4来构造 通解把简化矩阵 Aj的第一行 x2 和 x4 移到方程右边 有如下方程通解，通解为:

          x1 = x2 + (1/3)x4
          x3 = (-4/3)x4
          ∀x2,x4 # 表示 x2 和 x4为自由未知量，即可以取任意值。

分别令

          (x2 =  (1   (0
           x4)   0)   1)

得到基础解系

      (1) 当x2=1， x4=0，由通解得
          x1 = 1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0
          系数为 [1 1 0 0]
      (2) 当x2=0，x4=1,由通解得
          x1 = 1/3, x3 = -4/3
          系数为[1/3 0 -4/3 1]

1.1 * 矩阵定义: m * n矩阵，简记为 (a_ij)m * n

其中 a_ij为元素， 1<= i <=m, 1<=j<=n
 i 行指标， j 列指标

      元素都是实数，---- 实数矩阵
      元素都是复数  ---- 复数矩阵

• 系数矩阵和增广矩阵

      系数矩阵: 线性方程组的系数构成的矩阵，就叫系数矩阵
      增广矩阵: 系数矩阵的右边添加上线性方程组等号右边的一列，就叫增广矩阵。
  

切勿以为增广矩阵只是右端添加一列，其实是在原矩阵的右端添加一个矩阵，而线性方程组的右端恰好是一个列数为1的矩阵

增广矩阵通常用于判断矩阵的解的情况：

      r(A) < r(AB) , 方程组无解
      r(A)= r(AB)=n, 方程组有唯一解
      r(A)= r(AV) < n,方程组无穷解
      r(A)>r(AB) 不可能，因为增广矩阵的秩只会大于等于系数矩阵的秩。

定理:

      若初等行变换将 (A,b)化成(A1,b1),其中A1为线性方程组的系数矩阵，
      b1是线性方程组常数项。
      则(1)与(2)是同解。

关键是方程组的系数和常数组成的矩阵 经过初等变换后，阶梯型要可逆，即满秩矩阵。

1.2   * n阶单位矩阵

      [1 0 ... 0
       0 1 ... 0
       ...
       0 0 ... 1] 


       n * n

记为 E_n或 I_n

1.3   * 零矩阵

元素全部为0的矩阵，通常用O 表示零矩阵，加下标指明其阶数

      O2 = [0 0
            0 0]
      O2*3 = [ 0 0 0
               0 0 0 ]
      O3 = [ 0 0 0
             0 0 0
             0 0 0 ]

1.4   * 向量空间

定义:

      设V是 实数R^n的非空子集，若
      1，任意a，b属于V， 且 a + b 仍然属于V, 则称 V 关于加法是封闭的
      2，任意a属于V，k属于R，ka仍然属于V， 则称V 关于数乘是 封闭的
      满足以上条件的V，称为R^n 的子空间，或称为向量空间。

例：零空间{0} 是 封闭的，因为零空间中所有元素相加是零向量，所有元素相乘也是零向量，满足定义，所以是封闭的。

1.5   基维数，向量的基

基的定义:

      设V是向量空间，a1,a2,...,ar 属于V，若
      1，a1,a2,...,ar线性无关
      2，所有𝞰 属于V可由a1,...,ar线性表示

则a1,a2,…,ar是V的一组基,V中任意两组基中向量个数相同，称为V的维数，dimV
        
例: R^3  e1,e2,e3是R^3的一组基，dimR^3=3

1.6   坐标

定义:

      设a1,a2,...,ar是V的基，𝞰 属于V，𝞰 =x1a1 + x2a2 + ... + xrar


      称 [x1,x2,...,xr]^T 为a在基a1,a2,...,ar下的坐标

      例: R^3  e1 e2 e3 下   2e1+3e2+4e3
      [2,3,4]是𝞰 在e1,e2,e3 下的坐标

1.7 矩阵最简形

行阶梯形矩阵

      1，零行: 元素全为 零的行
      2，非零行: 元素不全为零的行
      3, 非零首元: 非零行第一个不为零的元素
      4，行阶梯形矩阵

定义: 矩阵有零行，且是最后一行。 非零首元的列指标随着行指标增加 而严格递增
  任何一个矩阵都可以经过初等变换 化为行阶梯形
事实上，只要用其中的倍加变换即可

      [ 3 -2 0
        0 1  2
        0 0  0 ]

行最简形矩阵

      1，行阶梯形
      2，非零首元都是1
      3，非零首元所在列的其余元素都是0  # 这个条件不要忽略了

任何一个矩阵都可以经过初等变换 化为行最简形

      [1 0 -2 2
       0 1 2 -2
       0 0 0 0]

矩阵初等变换的性质

      1，反身性   A ～= A
      2，对称性  A ~= B => B ~= A
      3，传递性 A ~= B, B ~= C => A~=C

1.8  特别的定义:

  2行 3列 2 * 3矩阵
  n阶方阵 = n*n 矩阵
  1 * 1矩阵就是 A1-1， 就是数 A1-1

* 定义 同型:

    两个矩阵 A 和 B同型
        A的行数= B的行数，而且A的列数 = B的列数
        m 和 n都必须一样

• 定义 相等:

          A 与 B 同型，并且 A中全部元素和位置 与 B中全部元素和位置
          A = B
  

• 定义 对称:

      A = (a_ij)m*n 满足
      m = n 且 a_ij = a_ji (i,j = 1,...,n)
      则称A为对称矩阵， 按左上到右下方向对角线 对称
  

如a就是对称矩阵

       a= [ 1  2
            2  x]
         a_12 = a_21 

• 定义 对角矩阵

只有对角线上元素非0

      [a1 0 0
      0  a2 0
      0  0  a3]

简记 diag(a1,a2,…,an)

• 定义  数量矩阵/纯量矩阵

对角矩阵，且对角线上元素相等

      d = [3 0
          0 3]

• 反对称矩阵, 若矩阵 A = (a_ij)m*n，满足 m=n 且a_ij = -aji(i,j=1,…,n)
  则称A为反对称矩阵,如

      [0 -2
       2 0]
  

  或

        [0 0 1
         0 0 -3
         -1 3 0]
  

• n维向量空间内积的定义

a，b都是n维实数向量组，规定a，b内积为a,b分量的乘积之和，记为 [a,b]。

如果a，b都是列(行)向量，[a,b] = a^Tb = b^Ta   # a,b列向量的内积等于a的转置与b的乘积,结果是一个数

• 内积的性质

          1，对称性 [a,b] = [b,a]
          2，齐性，∀k，[ka,b] = k[a,b]
          3,可加性，∀a,b,r [a+b,r] = [a,r]+[b,r]
          4,恒正性，∀a [a,a]>=0,且[a,a]=0 <=>a=0
  

• 模和正交性

定义：

1，向量a,b != 0，夹角𝞅

          𝞅=arccos([a,b]/√[a,a]√[b,b])
          # arccos  反余玄， 至于为什么a,b 的内积 = ||a||*||b||*cos(夹角)

2,a的长度(模)，记为||a||=√[a,a]   # 向量长度等于 内积的平方根。

3。若[a,b]=0,称a,b正交，即a和b垂直。

零向量根任何向量都正交垂直

性质:

          1, ∀a属于R^n, ||a|| >= 0,且||a||=0 <=> a=0
          2, ∀a属于R^n, k属于R，则||ka|| = |k|* ||a||
              如果 a != 0,取k= 1/||a||
              ||(1/||a||)a|| = 1
              长度为1的向量，称为单位向量

单位化

          ||(1/||a||)a|| = 1 的过程就是单位化的过程，即给定一个 非零向量，将其单位化的过程

n维向量关系1，"三角不等式"的向量表达

          即 两边之和大于第三边
          ||a+b|| <= ||a|| + ||b||
          证明过程略。
      n维向量关系2，"勾股定理"的向量表达
          ||a+b||^2 = ||a||^2 + ||b||^2      
          #向量a的模的平方 + 向量b的模的平方 等于a+b的模的平方

• 标准正交向量组
      
  正交向量组的定义

定义:两个正交的非零向量构成的向量组，称为 正交向量
            
定理:正交向量组线性无关

          设，a1,a2,...,as是正交向量组，k1a1+k2a2+...+ksas=0
          (k1,k2,...,ks为0 才能满足)
          设 1<=i<=s，与ai做内积 
              ki[ai,ai] = [k1a1+...+kia1+...+ksas, ai]
                        = [0,ai] = 0
              ai != 0  ==> [ai,ai] != 0
              所以ki = 0

标准正交向量组，标准正交基

标准正交向量组

如果向量组中每个向量都是单维向量，则称为是标准正交向量

V是向量空间， 基 ---- 正交基

                   标准向量组的基 ------ 标准正交基

• 正交矩阵的定义

定义:设 A 是nxn实矩阵，若A^TA=E, 则称A是正交矩阵 (A^TA=E 表示A的转置乘以A是单位矩阵)

          例: A=E, A=(1  0
                      0  -1)    # 正交矩阵
                  A=(cosr  sinr
                     -sinr  cosr)     # 在空间中旋转 r 角度，也是正交矩阵

定理: 如何判定矩阵是否正交矩阵？

设A是nxn实矩阵，那么如果A是正交矩阵，那么充要条件为 A^-1 = A^T （逆矩阵就是其转置）
 A的列向量组以及A的行向量组是 R^n的标准正交基

          例2:
          A=(a1,a2,...,an)
          A^TA = (a1^T (a1 a2 ... an)
                  a2^T
                  ...
                  an^T)
          = ([a1 a1]  [a1 a2] ... [a1 an]
              ...
              [an a1]  [an a2] ... [an an])
          A^TA = E <=> [ai aj] = {1 i=j     # 向量自身内积为1，说明他们是单位向量
                                  0 i != j}  # 不同向量内积为0，说明他们正交
                   <=> a1,...,an 是标准正交向量组

• 正交矩阵的性质 和应用

          1，正交矩阵可以用于正交变换.
  
  
          2，正交变换具有非常好的几何属性. 它保持向量的内积、
          长度以及两个非零向量之间的夹角, 因而保持图形的大小和形状. 
          可见正交变换是一种刚体变换.
  
  
          3，二次型的时候会涉及到正交变换.
  
  
          4，“正交变换具有很多几何意义”
  

• 矩阵四个空间(MIT)

矩阵四种空间(MIT课程):

列空间(C(A))，零空间(N(A))，行空间(C(A^t)列空间的转置)，右零空间(N(A^t)零空间的转置)。
    
    这里主要讨论 列空间，零空间，对于它们的理解可帮助我们理解matrix协议的实现。

2 小结

本节陈述主要概念，下一节举例计算。