深入探讨梯度下降：优化机器学习的关键步骤（二）

🍀引言

承接上篇，这篇主要有两个重点，一个是eta参数的调解；一个是在sklearn中实现梯度下降

在梯度下降算法中，学习率（通常用符号η表示，也称为步长或学习速率）的选择非常重要，因为它直接影响了算法的性能和收敛速度。学习率控制了每次迭代中模型参数更新的幅度。以下是学习率（η）的重要性：

• 收敛速度：学习率决定了模型在每次迭代中移动多远。如果学习率过大，模型可能会在参数空间中来回摇摆，导致不稳定的收敛或甚至发散。如果学习率过小，模型将收敛得很慢，需要更多的迭代次数才能达到最优解。因此，选择合适的学习率可以加速收敛速度。

• 稳定性：过大的学习率可能会导致梯度下降算法不稳定，甚至无法收敛。过小的学习率可以使算法更加稳定，但可能需要更多的迭代次数才能达到最优解。因此，合适的学习率可以在稳定性和收敛速度之间取得平衡。

• 避免局部最小值：选择不同的学习率可能会导致模型陷入不同的局部最小值。通过尝试不同的学习率，您可以更有可能找到全局最小值，而不是被困在局部最小值中。

• 调优：学习率通常需要调优。您可以尝试不同的学习率值，并监视损失函数的收敛情况。通常，您可以使用学习率衰减策略，逐渐降低学习率以改善收敛性能。

• 批量大小：学习率的选择也与批量大小有关。通常，小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）使用比大批量梯度下降更大的学习率，因为小批量可以提供更稳定的梯度估计。

总之，学习率是梯度下降算法中的关键超参数之一，它需要仔细选择和调整，以在训练过程中实现最佳性能和收敛性。不同的问题和数据集可能需要不同的学习率，因此在实践中，通常需要进行实验和调优来找到最佳的学习率值。

🍀eta参数的调节

在上代码前我们需要知道，如果eta的值过小会造成什么样的结果

反之如果过大呢

可见，eta过大过小都会影响效率，所以一个合适的eta对于寻找最优有着至关重要的作用

在上篇的学习中我们已经初步完成的代码，这篇我们将其封装一下
首先需要定义两个函数，一个用来返回thera的历史列表，一个则将其绘制出来

def gradient_descent(eta,initial_theta,epsilon = 1e-8):
    theta = initial_theta
    theta_history = [initial_theta]
    def dj(theta): 
        return 2*(theta-2.5) #  传入theta,求theta点对应的导数
    def j(theta):
        return (theta-2.5)**2-1  #  传入theta，获得目标函数的对应值
    while True:
        gradient = dj(theta)
        last_theta = theta
        theta = theta-gradient*eta 
        theta_history.append(theta)
        if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
            break
    return theta_history

def plot_gradient(theta_history):
    plt.plot(plt_x,plt_y)
    plt.plot(theta_history,[(i-2.5)**2-1 for i in theta_history],color='r',marker='+')
    plt.show()

其实就是上篇代码的整合罢了
之后我们需要进行简单的调参了，这里我们分别采用0.1、0.01、0.9，这三个参数进行调节

eta = 0.1
theta =0.0
plot_gradient(gradient_descent(eta,theta))
len(theta_history)

运行结果如下

eta = 0.01
theta =0.0
plot_gradient(gradient_descent(eta,theta))
len(theta_history)

运行结果如下

eta = 0.9
theta =0.0
plot_gradient(gradient_descent(eta,theta))
len(theta_history)

运行结果如下

这三张图与之前的提示很像吧，可见调参的重要性
如果我们将eta改为1.0呢，那么会发生什么

eta = 1.0
theta =0.0
plot_gradient(gradient_descent(eta,theta))
len(theta_history)

运行结果如下

那改为1.1呢

eta = 1.1
theta =0.0
plot_gradient(gradient_descent(eta,theta))
len(theta_history)

运行结果如下

我们从图可以清楚的看到，当eta为1.1的时候是嗷嗷增大的，这种情况我们需要采用异常处理来限制一下，避免报错，处理的方式是限制循环的最大值，且可以在expect中设置inf（正无穷）

def gradient_descent(eta,initial_theta,n_iters=1e3,epsilon = 1e-8):
    theta = initial_theta
    theta_history = [initial_theta]
    i_iter = 1
    def dj(theta):  
        try:
            return 2*(theta-2.5) #  传入theta,求theta点对应的导数
        except:
            return float('inf')
    def j(theta):
        return (theta-2.5)**2-1  #  传入theta，获得目标函数的对应值
    while i_iter<=n_iters:
        gradient = dj(theta)
        last_theta = theta
        theta = theta-gradient*eta 
        theta_history.append(theta)
        if np.abs(j(theta)-j(last_theta))<epsilon:
            break
        i_iter+=1
    return theta_history

def plot_gradient(theta_history):
    plt.plot(plt_x,plt_y)
    plt.plot(theta_history,[(i-2.5)**2-1 for i in theta_history],color='r',marker='+')
    plt.show()

注意：inf表示正无穷大

🍀sklearn中的梯度下降

这里我们还是以波士顿房价为例子
首先导入需要的库

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import SGDRegressor

之后取一部分的数据

boston = load_boston()
X = boston.data
y = boston.target
X = X[y<50]
y = y[y<50]

然后进行数据归一化

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train,X_test,y_train,y_test=train_test_split(X,y)
std = StandardScaler()
std.fit(X_train)
X_train_std=std.transform(X_train)
X_test_std=std.transform(X_test)
sgd_reg = SGDRegressor()
sgd_reg.fit(X_train_std,y_train)

最后取得score

sgd_reg.score(X_test_std,y_test)

运行结果如下

挑战与创造都是很痛苦的，但是很充实。