javaScript实现动态规划(Dynamic Programming)01背包问题

前言

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。

问题描述

01背包问题是一个经典的算法问题，简单来说就是一个包要装许多水果，水果有体积和大小两个属性，怎么把包装满价值最大（最值钱）。
专业描述问题：有N件物品和一个容量为v的背包，第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]，求将那些物品怎么装进背包使价值总和最大。
注意：物品只能取一次或者不取，不能多次获取

原理

f(i,c) = math.Max( f(i-1,c),(f(i-1,c-w[i]) + v[i])) //取最大值

枚举第i个物品，选还是不选

• 选：容量减少了w[i]
• 不选：剩余容量不变

然后需要考虑在剩余容量为c的情况下，从前i个物品中能得到的最大价值和。

• 不选：在剩余容量为c时，从前i-1个物品中获得最大价值和
• 选：在剩余容量为c-w[i]的时候，从前i-1个物品中获取最大价值和
  最终取两者的最大值

案例

背包的最大容量为6，其他物品信息如下：

根据背包容量从0-6以及物品，初始化表格。

表格中的单元格代表的是什么意思呢？以图中为例：第2行第4列的单元格表示背包容量最大为3的情况下，对前2类物品进行选择，使得背包的价值为最大值。
第i行第j列的单元格 表示背包容量最大为j的情况下，对前i类物品进行选择，能使得背包的价值为最大值。每个单元格都是当前条件下的最优解，表格的右下角的单元格就是最优解。

第0行在任何容量体积下，没有任何物品，所以都为0，即前0个物品装进背包的价值都为0 。
对于第0列来说，因为背包容量为0，所以任何物品都不能装进背包，所以价值都为0，即第0列数据都为0。虽然是第0行第0列，但是都是在各自限制条件下的最优解。

• 分析第一行第一列的单元格
  在背包容量最大为1的条件下，对前一种物品取舍选择后获得的最大价值。在考虑单元格的时候需要进行判断：新纳入考量的物品是否超过背包的总容量。第一行第一列这里新纳入的物品为葡萄，葡萄的体积（2）大于背包体积（1），所以放不进去。
  我们已经计算出不考虑葡萄时候，最大价值为0 ，此时我们的最优解继承自其上方单元格也就是（0，1）的值

• 分析第一行第二列的单元格
  在背包容量最大为2的条件下，对前一种物品取舍选择后获得的最大价值。此时物体体积等于背包体积，此时不能继承上方单元格的值，也就是不能继承（0，2）的数据。此时需要比较两种数据的大小：

  • 不考虑新纳入物品（也就是说不考虑此时葡萄获得的最优解），这个最优解为上方单元格的最优解（第0个物品在背包体积为2的情况的最优解：0）
  • 背包容量为2的情况下，对前一种物品取舍选择后获得的最大价值，此时刚好可以放进背包，那么问题就变成了背包容量为0的情况下对前一种物品取舍选择后获得的最大价值 + 当前物品的价值（此时为葡萄🍇）。变成了背包容量为0的情况是通过当前背包容量(2) - 此时物品容量(2) = 0。
  • 然后比较两者大小，取最大值

• 分析其他单元格与上面类似，最终得到右下方单元格的值（最优解）
  最终计算完得到以下结果
  

	<script>
		let weight = [2, 3, 4];//物体体积
		let value = [3, 5, 6];//物体价值
		let bagWeight = 6;//背包最大容纳量
		function bagProblem(weight, value, bagWeight) {
		    // 初始化dp,生成二维数组，长度为物体种类总长度，里面的数组长度为（背包最大容纳量+1）
			const dp = new Array(weight.length + 1).fill(0).map(() => new Array(bagWeight + 1).fill(0));
			//此时dp为
			//[[0, 0, 0, 0, 0,0, 0], 
			//[0, 0, 0, 0, 0,0, 0], 
			//[0, 0, 0, 0, 0,0, 0], 
			//[0, 0, 0, 0, 0,0, 0], 
			//[0, 0, 0, 0, 0,0, 0]]
			
            // 设置第一个物品在背包体积为（0-6）中的最优解
			for (let j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) { //i<= 4
				dp[0][j] = value[0]
			}
			//此时dp为
			//[[0, 0, 3, 3, 3,3,3], 
			//[0, 0, 0, 0, 0,0, 0], 
			//[0, 0, 0, 0, 0,0, 0], 
			//[0, 0, 0, 0, 0,0, 0], 
			//[0, 0, 0, 0, 0,0, 0]]
			for (let j = 0; j <= bagWeight; j++) { //0<=4  j为包的最大重量
				for (let i = 1; i < weight.length; i++) { // 1<=3  i为三个包的索引
					if (j < weight[i]) {  // 包的最大重量 < 第i个包的重量，此时最优解为继承上一个单元格
						dp[i][j] = dp[i - 1][j]  //dp[i][j]    
					} else {
					// 包的最大重量 < 第i个包的重量
					//Math.max（前一条数据最优解，（此时容纳量-当前选择物体的容纳量）的最优解 + 此时物体的价值）
						dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
					}
				}
			}
			return dp[weight.length - 1][bagWeight]
		}
		bagProblem(weight, value, bagWeight)
		console.log(bagProblem(weight, value, bagWeight))
	</script>