MATLAB实战 | 科赫曲线的绘制

#01、应用实战

自然界存在许多复杂事物和现象，如蜿蜒曲折的海岸线、天空中奇形怪状的云朵、错综生长的灌木、太空中星罗棋布的星球等，还有许多社会现象，如人口的分布、物价的波动等，它们呈现异常复杂而毫无规则的形态，但它们具有自相似性。人们把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)，在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。科赫曲线是典型的分形曲线，由瑞典数学家科赫(Koch)于1904年提出。下面以科赫曲线为例，说明分形曲线的绘制方法。

##1. 科赫曲线的构造原理

科赫曲线的构造过程是，取一条直线段L0，将其三等分，保留两端的线段，将中间的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两边代替，得到曲线L1，如图1所示。再对L1中的4条线段都按上述方式修改，得到曲线L2，如此继续下去进行n次修改得到曲线Ln，当n→∞时得到一条连续曲线L，这条曲线L就称为科赫曲线。

■ 图1 科赫曲线构造过程

科赫曲线的构造规则是将每条直线用一条折线替代，通常称之为该分形的生成元，分形的基本特征完全由生成元决定。给定不同的生成元，就可以生成各种不同的分形曲线。分形曲线的构造过程是通过反复用一个生成元来取代每一直线段，因而图形的每一部分都和它本身的形状相同，这就是自相似性，这是分形最为重要的特点。分形曲线的构造过程也决定了制作该曲线可以用递归方法，即函数自己调用自己的过程。

对于给定的初始直线L0，设有A(ax,ay)、B(bx,by)，按照科赫曲线的构成原理计算出C、D、E各点坐标如下。

##2. 科赫曲线的程序实现

定义对直线L0进行替换的函数koch()，然后利用函数的递归调用，分别对AC、CD、DE、EB线段调用koch()函数，通过递归来实现“无穷”替换，因为不能像数学家的设想那样运算至无穷，所以根据要显示的最小长度作为递归的终止条件。

首先编写M函数koch（）如下：

M函数编写完成后，在命令行窗口输入以下命令：

命令运行结果如图2所示，改变depth的值可以获得不同细腻程度的科赫曲线。

■ 图2 科赫曲线

在程序中3次调用koch（）函数，实现三角形3条边各自的科赫曲线，形成科赫雪花曲线效果。在命令行窗口输入以下命令，程序运行结果如图3所示。

■ 图3 科赫雪花曲线