01、三维曲面

1. 产生网格坐标矩阵

在MATLAB中产生二维网格坐标矩阵的方法是： 将x方向区间［a，b］分成m份，将y方向区间［c，d ］分成n份，由各划分点分别作平行于两坐标轴的直线，将区域［a，b］×［c，d］分成m×n个小网格，生成代表每一个小网格顶点坐标的网格坐标矩阵。例如，在xy平面选定一矩形区域，如图1所示，其左下角顶点的坐标为(2,3)，右上角顶点的坐标为(6,8)。然后在x方向分成4份，在y方向分成5份，由各划分点分别作平行于两坐标轴的直线，将区域分成5×4个小矩形，总共有6×5个顶点。用矩阵X、Y分别存储每一个网格顶点的x坐标与y坐标，矩阵X、Y就是该矩形区域的xy平面网格坐标矩阵。

■ 图1 网格坐标示例

在MATLAB中，产生平面区域内的网格坐标矩阵有两种方法。

(1) 利用矩阵运算生成。例如，生成图1中的网格坐标矩阵，使用以下命令：

(2) 调用meshgrid函数生成二维网格坐标矩阵，函数的调用格式如下：

其中，输入参数x、y为向量，输出参数X、Y为矩阵。命令执行后，矩阵X的每一行都是向量x，行数等于向量y的元素的个数； 矩阵Y的每一列都是向量y，列数等于向量x的元素的个数。矩阵X和Y相同位置上的元素(Xij，Yij)存储二维空间网格顶点(i，j)的坐标。例如，生成图1中的网格坐标矩阵，也可以使用以下命令：

函数参数可以只有一个，此时生成的网格坐标矩阵是方阵，例如：

meshgrid函数也可以用于生成三维网格数据，调用格式如下：

其中，输入参数x、y、z为向量，输出参数X、Y、Z为三维数组。命令执行后，数组X、Y和Z的第一维大小和向量x元素的个数相同，第二维大小和向量y元素的个数相同，第三维大小和向量z元素的个数相同。X、Y和Z相同位置上的元素(Xijk，Yijk，Zijk)存储三维空间网格顶点(i，j，k)的坐标。

ndgrid函数用于生成n维网格数据，调用格式如下：

其中，输入参数x1、x2、…、xn为向量，输出参数X1、X2、…、Xn为n维矩阵。例如：

对比前面meshgrid网格数据会发现，meshgrid网格数据进行转置即得到ndgrid网格数据。
##2. mesh函数和surf函数

MATLAB提供了mesh函数和surf函数来绘制三维曲面图。mesh函数用于绘制三维网格图，网格线条有颜色，网格线条之间无颜色； surf函数用于绘制三维曲面图，网格线条之间的补面用颜色填充。surf函数和mesh函数的调用格式为：

通常，输入参数x、y、z是同型矩阵，x、y定义网格顶点的xy平面坐标，z定义网格顶点的高度。选项c用于指定在不同高度下的补面颜色。c缺省时，MATLAB认为c=z，即颜色的设定值默认正比于图形的高度，这样就可以绘制出层次分明的三维图形。当x，y是向量时，要求x的长度等于矩阵z的列数，y的长度等于矩阵z的行数，x、y向量元素的组合构成网格顶点的x、y坐标。
【例1】已知!

其中，x、y的40个值均匀分布在［-2，2］范围内，绘制三维曲面图。

程序如下

程序运行结果如图2所示。mesh、surf函数的前两个参数x、y也可以是行向量或列向量，所以程序中的mesh函数也可以写成mesh(x,x,zz)。

■ 图2 三维曲面图

若调用surf、mesh函数时，省略前两个输入参数x、y，则把z矩阵的第二维下标当作x坐标，把z矩阵的第一维下标当作y坐标，然后绘制三维曲面图。例如：

第二条命令生成的z是一个3×5的矩阵，执行mesh(z)命令绘制图形，曲面各个顶点的x坐标是z元素的列下标，y坐标是z元素的行下标。

此外，还有两个和mesh函数功能相似的函数，即meshc函数和meshz函数，其用法与mesh函数类似，不同的是meshc函数还在xy平面上绘制曲面在z轴方向的等高线，meshz函数还在xy平面上绘制曲面的底座。surf函数也有两个类似的函数，即具有等高线的曲面函数surfc和具有光照效果的曲面函数surfl。
【例2】在xy平面内选择区域［-8，8］×［-8，8］，利用下列函数绘制4种形式的三维曲面图。

程序如下：

程序运行结果如图3所示。

■ 图3 4种形式的三维曲面图