定义

在 PyTorch 中，超前预测下降算法Nesterov Accelerated Gradient（NAG）是动量梯度下降法（Momentum Gradient Descent）的一种改进版本。NAG 在计算梯度时引入了一个“超前预测”的步骤，以更准确地估计下一步的梯度方向。这有助于改进动量梯度下降法在参数更新时的准确性和收敛速度。

动量梯度下降公式

小批量梯度下降于动量梯度下降的区别

由于mini-batch每次仅使用数据集中的一部分进行梯度下降，所以每次下降并不是严格按照朝最小方向下降，但是总体下降趋势是朝着最小方向，上图可以明显看出两者之间的区别。

对右边的图来说，动量梯度下降法并没有什么用处。梯度批量下降法主要是针对mini-batch梯度下降法进行优化，优化之后左右的摆动减小，从而提高效率。优化前后的对比如下图，可见动量梯度下降法的摆动明显减弱。

案例实战

下面我将通过一个简单的线性回归问题来演示如何在 PyTorch 中使用 Nesterov Accelerated Gradient。

首先，我们需要导入 PyTorch 库并准备数据：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np

# 随机生成一些简单的线性数据
np.random.seed(42)
X = np.random.rand(100, 1)  # 100个输入样本
y = 2 * X + 1 + 0.1 * np.random.randn(100, 1)  # 添加随机噪声的目标输出

接下来，我们定义一个简单的线性模型，并使用 Nesterov Accelerated Gradient 进行优化：

# 将数据转换为 PyTorch 张量
X_tensor = torch.tensor(X, dtype=torch.float32)
y_tensor = torch.tensor(y, dtype=torch.float32)

# 定义线性模型
class LinearModel(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(LinearModel, self).__init__()
        self.linear = nn.Linear(1, 1)  # 输入特征数为1，输出特征数为1

    def forward(self, x):
        return self.linear(x)

# 创建模型实例和优化器
model = LinearModel()
criterion = nn.MSELoss()  # 使用均方误差损失函数
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0.9, nesterov=True)  # 使用 NAG

# 进行模型训练
num_epochs = 100

for epoch in range(num_epochs):
    # 清零梯度
    optimizer.zero_grad()

    # 提前根据当前动量的方向进行预测（NAG独有的步骤）
    with torch.no_grad():
        y_pred_ahead = model(X_tensor - optimizer.param_groups[0]['momentum'] * optimizer.state[model.parameters()][0])

    # 前向传播
    y_pred = model(X_tensor + optimizer.param_groups[0]['momentum'] * (X_tensor - optimizer.param_groups[0]['momentum'] * y_pred_ahead))
    # 计算损失
    loss = criterion(y_pred, y_tensor)
    # 反向传播
    loss.backward()
    # 更新参数
    optimizer.step()

    if (epoch + 1) % 10 == 0:
        print(f'Epoch [{epoch+1}/{num_epochs}], Loss: {loss.item():.4f}')

# 打印训练后的模型参数
print("训练后的模型参数：", model.state_dict())

在上述代码中，我们使用了 torch.optim.SGD 创建了一个 Nesterov Accelerated Gradient 的优化器，并将其应用于训练过程中。通过在创建优化器时指定 momentum 参数为0.9，并设置 nesterov=True，我们启用了 Nesterov Accelerated Gradient。在每次参数更新时，NAG 首先根据当前动量的方向进行预测，然后利用预测的方向进行参数更新，这有助于更准确地估计下一步的梯度方向，从而改进了动量梯度下降法在参数更新时的准确性和收敛速度。NAG 通常能够加速收敛，并在某些情况下表现更优秀。