刷图论第四期：二分图的判定

二分图简介

在讲二分图的判定算法之前，我们先来看下百度百科对「二分图」的定义：

二分图的顶点集可分割为两个互不相交的子集，图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个子集，且两个子集内的顶点不相邻。

其实图论里面很多术语的定义都比较拗口，不容易理解。我们甭看这个死板的定义了，来玩个游戏吧：

给你一幅「图」，请你用两种颜色将图中的所有顶点着色，且使得任意一条边的两个端点的颜色都不相同，你能做到吗？

这就是图的「双色问题」，其实这个问题就等同于二分图的判定问题，如果你能够成功地将图染色，那么这幅图就是一幅二分图，反之则不是：

在具体讲解二分图判定算法之前，我们先来说说计算机大佬们闲着无聊解决双色问题的目的是什么。

首先，二分图作为一种特殊的图模型，会被很多高级图算法（比如最大流算法）用到，不过这些高级算法我们不是特别有必要去掌握，有兴趣的读者可以自行搜索。

从简单实用的角度来看，二分图结构在某些场景可以更高效地存储数据。

比如前文 介绍《算法 4》 文章中的例子，如何存储电影演员和电影之间的关系？

如果用哈希表存储，需要两个哈希表分别存储「每个演员到电影列表」的映射和「每部电影到演员列表」的映射。

但如果用「图」结构存储，将电影和参演的演员连接，很自然地就成为了一幅二分图：

每个电影节点的相邻节点就是参演该电影的所有演员，每个演员的相邻节点就是该演员参演过的所有电影，非常方便直观。

类比这个例子，其实生活中不少实体的关系都能自然地形成二分图结构，所以在某些场景下图结构也可以作为存储键值对的数据结构（符号表）。

好了，接下来进入正题，说说如何判定一幅图是否是二分图。

二分图判定思路

判定二分图的算法很简单，就是用代码解决「双色问题」。

说白了就是遍历一遍图，一边遍历一遍染色，看看能不能用两种颜色给所有节点染色，且相邻节点的颜色都不相同。

既然说到遍历图，也不涉及最短路径之类的，当然是 DFS 算法和 BFS 皆可了，DFS 算法相对更常用些，所以我们先来看看如何用 DFS 算法判定双色图。

首先，基于 学习数据结构和算法的框架思维 写出图的遍历框架：

/* 二叉树遍历框架 */
void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

/* 多叉树遍历框架 */
void traverse(Node root) {
    if (root == null) return;
    for (Node child : root.children)
        traverse(child);
}

/* 图遍历框架 */
boolean[] visited;
void traverse(Graph graph, int v) {
    // 防止走回头路进入死循环
    if (visited[v]) return;
    // 前序遍历位置，标记节点 v 已访问
    visited[v] = true;
    for (TreeNode neighbor : graph.neighbors(v))
        traverse(graph, neighbor);
}

因为图中可能存在环，所以用visited数组防止走回头路。

这里可以看到我习惯把 return 语句都放在函数开头，因为一般 return 语句都是 base case，集中放在一起可以让算法结构更清晰。

其实，如果你愿意，也可以把 if 判断放到其它地方，比如图遍历框架可以稍微改改：

/* 图遍历框架 */
boolean[] visited;
void traverse(Graph graph, int v) {
    // 前序遍历位置，标记节点 v 已访问
    visited[v] = true;
    for (int neighbor : graph.neighbors(v)) {
        if (!visited[neighbor]) {
            // 只遍历没标记过的相邻节点
            traverse(graph, neighbor);
        }
    }
}

这种写法把对visited的判断放到递归调用之前，和之前的写法唯一的不同就是，你需要保证调用traverse(v)的时候，visited[v] == false。

为什么要特别说这种写法呢？因为我们判断二分图的算法会用到这种写法。

回顾一下二分图怎么判断，其实就是让traverse函数一边遍历节点，一边给节点染色，尝试让每对相邻节点的颜色都不一样。

所以，判定二分图的代码逻辑可以这样写：

/* 图遍历框架 */
void traverse(Graph graph, boolean[] visited, int v) {
    visited[v] = true;
    // 遍历节点 v 的所有相邻节点 neighbor
    for (int neighbor : graph.neighbors(v)) {
        if (!visited[neighbor]) {
            // 相邻节点 neighbor 没有被访问过
            // 那么应该给节点 neighbor 涂上和节点 v 不同的颜色
            traverse(graph, visited, neighbor);
        } else {
            // 相邻节点 neighbor 已经被访问过
            // 那么应该比较节点 neighbor 和节点 v 的颜色
            // 若相同，则此图不是二分图
        }
    }
}

如果你能看懂上面这段代码，就能写出二分图判定的具体代码了，接下来看两道具体的算法题来实操一下。

题目实践

力扣第 785 题「判断二分图」就是原题，题目给你输入一个 邻接表 表示一幅无向图，请你判断这幅图是否是二分图。

函数签名如下：

boolean isBipartite(int[][] graph);

比如题目给的例子，输入的邻接表graph = [[1,2,3],[0,2],[0,1,3],[0,2]]，也就是这样一幅图：

显然无法对节点着色使得每两个相邻节点的颜色都不相同，所以算法返回 false。

但如果输入graph = [[1,3],[0,2],[1,3],[0,2]]，也就是这样一幅图：

如果把节点{0, 2}涂一个颜色，节点{1, 3}涂另一个颜色，就可以解决「双色问题」，所以这是一幅二分图，算法返回 true。

结合之前的代码框架，我们可以额外使用一个color数组来记录每个节点的颜色，从而写出解法代码：

// 记录图是否符合二分图性质
private boolean ok = true;
// 记录图中节点的颜色，false 和 true 代表两种不同颜色
private boolean[] color;
// 记录图中节点是否被访问过
private boolean[] visited;

// 主函数，输入邻接表，判断是否是二分图
public boolean isBipartite(int[][] graph) {
    int n = graph.length;
    color =  new boolean[n];
    visited =  new boolean[n];
    // 因为图不一定是联通的，可能存在多个子图
    // 所以要把每个节点都作为起点进行一次遍历
    // 如果发现任何一个子图不是二分图，整幅图都不算二分图
    for (int v = 0; v < n; v++) {
        if (!visited[v]) {
            traverse(graph, v);
        }
    }
    return ok;
}

// DFS 遍历框架
private void traverse(int[][] graph, int v) {
    // 如果已经确定不是二分图了，就不用浪费时间再递归遍历了
    if (!ok) return;

    visited[v] = true;
    for (int w : graph[v]) {
        if (!visited[w]) {
            // 相邻节点 w 没有被访问过
            // 那么应该给节点 w 涂上和节点 v 不同的颜色
            color[w] = !color[v];
            // 继续遍历 w
            traverse(graph, w);
        } else {
            // 相邻节点 w 已经被访问过
            // 根据 v 和 w 的颜色判断是否是二分图
            if (color[w] == color[v]) {
                // 若相同，则此图不是二分图
                ok = false;
            }
        }
    }
}

这就是解决「双色问题」的代码，如果能成功对整幅图染色，则说明这是一幅二分图，否则就不是二分图。

接下来看一下 BFS 算法的逻辑：

// 记录图是否符合二分图性质
private boolean ok = true;
// 记录图中节点的颜色，false 和 true 代表两种不同颜色
private boolean[] color;
// 记录图中节点是否被访问过
private boolean[] visited;

public boolean isBipartite(int[][] graph) {
    int n = graph.length;
    color =  new boolean[n];
    visited =  new boolean[n];

    for (int v = 0; v < n; v++) {
        if (!visited[v]) {
            // 改为使用 BFS 函数
            bfs(graph, v);
        }
    }

    return ok;
}

// 从 start 节点开始进行 BFS 遍历
private void bfs(int[][] graph, int start) {
    Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
    visited[start] = true;
    q.offer(start);

    while (!q.isEmpty() && ok) {
        int v = q.poll();
        // 从节点 v 向所有相邻节点扩散
        for (int w : graph[v]) {
            if (!visited[w]) {
                // 相邻节点 w 没有被访问过
                // 那么应该给节点 w 涂上和节点 v 不同的颜色
                color[w] = !color[v];
                // 标记 w 节点，并放入队列
                visited[w] = true;
                q.offer(w);
            } else {
                // 相邻节点 w 已经被访问过
                // 根据 v 和 w 的颜色判断是否是二分图
                if (color[w] == color[v]) {
                    // 若相同，则此图不是二分图
                    ok = false;
                }
            }
        }
    }
}

核心逻辑和刚才实现的traverse函数（DFS 算法）完全一样，也是根据相邻节点v和w的颜色来进行判断的。关于 BFS 算法框架的探讨，详见前文 BFS 算法框架 和 Dijkstra 算法模板，这里就不展开了。

最后再来看看力扣第 886 题「可能的二分法」：

函数签名如下：

boolean possibleBipartition(int n, int[][] dislikes);

其实这题考察的就是二分图的判定：

如果你把每个人看做图中的节点，相互讨厌的关系看做图中的边，那么dislikes数组就可以构成一幅图；

又因为题目说互相讨厌的人不能放在同一组里，相当于图中的所有相邻节点都要放进两个不同的组；

那就回到了「双色问题」，如果能够用两种颜色着色所有节点，且相邻节点颜色都不同，那么你按照颜色把这些节点分成两组不就行了嘛。

所以解法就出来了，我们把dislikes构造成一幅图，然后执行二分图的判定算法即可：

private boolean ok = true;
private boolean[] color;
private boolean[] visited;

public boolean possibleBipartition(int n, int[][] dislikes) {
    // 图节点编号为 1...n
    color = new boolean[n + 1];
    visited = new boolean[n + 1];
    // 转化成邻接表表示图结构
    List<Integer>[] graph = buildGraph(n, dislikes);

    for (int v = 1; v <= n; v++) {
        if (!visited[v]) {
            traverse(graph, v);
        }
    }

    return ok;
}

// 建图函数
private List<Integer>[] buildGraph(int n, int[][] dislikes) {
    // 图节点编号为 1...n
    List<Integer>[] graph = new LinkedList[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        graph[i] = new LinkedList<>();
    }
    for (int[] edge : dislikes) {
        int v = edge[1];
        int w = edge[0];
        // 「无向图」相当于「双向图」
        // v -> w
        graph[v].add(w);
        // w -> v
        graph[w].add(v);
    }
    return graph;
}

// 和之前的 traverse 函数完全相同
private void traverse(List<Integer>[] graph, int v) {
    if (!ok) return;
    visited[v] = true;
    for (int w : graph[v]) {
        if (!visited[w]) {
            color[w] = !color[v];
            traverse(graph, w);
        } else {
            if (color[w] == color[v]) {
                ok = false;
            }
        }
    }
}

至此，这道题也使用 DFS 算法解决了，如果你想用 BFS 算法，和之前写的解法是完全一样的，可以自己尝试实现。

二分图的判定算法就讲到这里，更多二分图的高级算法，敬请期待。