一文秒杀 5 道最近公共祖先问题

如果说笔试的时候经常遇到各种动归回溯的骚操作，那么面试会倾向于一些比较经典的问题，难度不算大，而且也比较实用。

本文就用 Git 引出一个经典的算法问题：最近公共祖先（Lowest Common Ancestor，简称 LCA）。

git pull 这个命令我们经常会用，它默认是使用 merge 方式将远端别人的修改拉到本地；如果带上参数 git pull -r，就会使用 rebase 的方式将远端修改拉到本地。

这二者最直观的区别就是：merge 方式合并的分支会看到很多「分叉」，而 rebase 方式合并的分支就是一条直线。但无论哪种方式，如果存在冲突，Git 都会检测出来并让你手动解决冲突。

那么问题来了，Git 是如何合并两条分支并检测冲突的呢？

以 rebase 命令为例，比如下图的情况，我站在 dev 分支执行 git rebase master，然后 dev 就会接到 master 分支之上：

这个过程中，Git 是这么做的：

首先，找到这两条分支的最近公共祖先LCA，然后从master节点开始，重演LCA到dev的commit的修改，如果这些修改和LCA到master的commit有冲突，就会提示你手动解决冲突，最后的结果就是把dev的分支完全接到master上面。

那么，Git 是如何找到两条不同分支的最近公共祖先的呢？这就是一个经典的算法问题了，下面我来由浅入深讲一讲。

寻找一个元素

先不管最近公共祖先问题，我请你实现一个简单的算法：

给你输入一棵没有重复元素的二叉树根节点root和一个目标值val，请你写一个函数寻找树中值为val的节点。

函数签名如下：

TreeNode find(TreeNode root, int val);

这个函数应该很容易实现对吧，比如我这样写代码：

// 定义：在以 root 为根的二叉树中寻找值为 val 的节点
TreeNode find(TreeNode root, int val) {
    // base case
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 看看 root.val 是不是要找的
    if (root.val == val) {
        return root;
    }
    // root 不是目标节点，那就去左子树找
    TreeNode left = find(root.left, val);
    if (left != null) {
        return left;
    }
    // 左子树找不着，那就去右子树找
    TreeNode right = find(root.right, val);
    if (right != null) {
        return right;
    }
    // 实在找不到了
    return null;
}

这段代码应该不用我多解释了，但我基于这段代码做一些简单的改写，请你分析一下我的改动会造成什么影响。

PS：如果你没读过前文 东哥带你刷二叉树（纲领篇），强烈建议阅读一下，理解二叉树前中后序遍历的奥义。

首先，我修改一下 return 的位置：

TreeNode find(TreeNode root, int val) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 前序位置
    if (root.val == val) {
        return root;
    }
    // root 不是目标节点，去左右子树寻找
    TreeNode left = find(root.left, val);
    TreeNode right = find(root.right, val);
    // 看看哪边找到了
    return left != null ? left : right;
}

这段代码也可以达到目的，但是实际运行的效率会低一些，原因也很简单，如果你能够在左子树找到目标节点，还有没有必要去右子树找了？没有必要。但这段代码还是会去右子树找一圈，所以效率相对差一些。

更进一步，我把对root.val的判断从前序位置移动到后序位置：

TreeNode find(TreeNode root, int val) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 先去左右子树寻找
    TreeNode left = find(root.left, val);
    TreeNode right = find(root.right, val);
    // 后序位置，看看 root 是不是目标节点
    if (root.val == val) {
        return root;
    }
    // root 不是目标节点，再去看看哪边的子树找到了
    return left != null ? left : right;
}

这段代码相当于你先去左右子树找，然后才检查root，依然可以到达目的，但是效率会进一步下降。因为这种写法必然会遍历二叉树的每一个节点。

对于之前的解法，你在前序位置就检查root，如果输入的二叉树根节点的值恰好就是目标值val，那么函数直接结束了，其他的节点根本不用搜索。

但如果你在后序位置判断，那么就算根节点就是目标节点，你也要去左右子树遍历完所有节点才能判断出来。

最后，我再改一下题目，现在不让你找值为val的节点，而是寻找值为val1或val2的节点，函数签名如下：

TreeNode find(TreeNode root, int val1, int val2);

这和我们第一次实现的find函数基本上是一样的，而且你应该知道可以有多种写法，我选择这样写代码：

// 定义：在以 root 为根的二叉树中寻找值为 val1 或 val2 的节点
TreeNode find(TreeNode root, int val1, int val2) {
    // base case
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 前序位置，看看 root 是不是目标值
    if (root.val == val1 || root.val == val2) {
        return root;
    }
    // 去左右子树寻找
    TreeNode left = find(root.left, val1, val2);
    TreeNode right = find(root.right, val1, val2);
    // 后序位置，已经知道左右子树是否存在目标值

    return left != null ? left : right;
}

为什么要写这样一个奇怪的find函数呢？因为最近公共祖先系列问题的解法都是把这个函数作为框架的。

下面一道一道题目来看。

秒杀五道题目

先来看看力扣第 236 题「二叉树的最近公共祖先」：

给你输入一棵不含重复值的二叉树，以及存在于树中的两个节点p和q，请你计算p和q的最近公共祖先节点。

PS：后文我用LCA（Lowest Common Ancestor）作为最近公共祖先节点的缩写。

比如输入这样一棵二叉树：

如果p是节点6，q是节点7，那么它俩的LCA就是节点5：

当然，p和q本身也可能是LCA，比如这种情况q本身就是LCA节点：

两个节点的最近公共祖先其实就是这两个节点向根节点的「延长线」的交汇点，那么对于任意一个节点，它怎么才能知道自己是不是p和q的最近公共祖先？

如果一个节点能够在它的左右子树中分别找到p和q，则该节点为LCA节点。

这就要用到之前实现的find函数了，只需在后序位置添加一个判断逻辑，即可改造成寻找最近公共祖先的解法代码：

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    return find(root, p.val, q.val);
}

// 在二叉树中寻找 val1 和 val2 的最近公共祖先节点
TreeNode find(TreeNode root, int val1, int val2) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 前序位置
    if (root.val == val1 || root.val == val2) {
        // 如果遇到目标值，直接返回
        return root;
    }
    TreeNode left = find(root.left, val1, val2);
    TreeNode right = find(root.right, val1, val2);
    // 后序位置，已经知道左右子树是否存在目标值
    if (left != null && right != null) {
        // 当前节点是 LCA 节点
        return root;
    }

    return left != null ? left : right;
}

在find函数的后序位置，如果发现left和right都非空，就说明当前节点是LCA节点，即解决了第一种情况：

在find函数的前序位置，如果找到一个值为val1或val2的节点则直接返回，恰好解决了第二种情况：

因为题目说了p和q一定存在于二叉树中(这点很重要），所以即便我们遇到q就直接返回，根本没遍历到p，也依然可以断定p在q底下，q就是LCA节点。

这样，标准的最近公共祖先问题就解决了，接下来看看这个题目有什么变体。

比如力扣第 1676 题「二叉树的最近公共祖先 IV」：

依然给你输入一棵不含重复值的二叉树，但这次不是给你输入p和q两个节点了，而是给你输入一个包含若干节点的列表nodes（这些节点都存在于二叉树中），让你算这些节点的最近公共祖先。

函数签名如下：

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode[] nodes);

比如还是这棵二叉树：

输入nodes = [7,4,6]，那么函数应该返回节点5。

看起来怪吓人的，实则解法逻辑是一样的，把刚才的代码逻辑稍加改造即可解决这道题：

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode[] nodes) {
    // 将列表转化成哈希集合，便于判断元素是否存在
    HashSet<Integer> values = new HashSet<>();
    for (TreeNode node : nodes) {
        values.add(node.val);
    }

    return find(root, values);
}

// 在二叉树中寻找 values 的最近公共祖先节点
TreeNode find(TreeNode root, HashSet<Integer> values) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 前序位置
    if (values.contains(root.val)){
        return root;
    }

    TreeNode left = find(root.left, values);
    TreeNode right = find(root.right, values);
    // 后序位置，已经知道左右子树是否存在目标值
    if (left != null && right != null) {
        // 当前节点是 LCA 节点
        return root;
    }

    return left != null ? left : right;
}

有刚才的铺垫，你类比一下应该不难理解这个解法。

不过需要注意的是，这两道题的题目都明确告诉我们这些节点必定存在于二叉树中，如果没有这个前提条件，就需要修改代码了。

比如力扣第 1644 题「二叉树的最近公共祖先 II」：

给你输入一棵不含重复值的二叉树的，以及两个节点p和q，如果p或q不存在于树中，则返回空指针，否则的话返回p和q的最近公共祖先节点。

在解决标准的最近公共祖先问题时，我们在find函数的前序位置有这样一段代码：

// 前序位置
if (root.val == val1 || root.val == val2) {
    // 如果遇到目标值，直接返回
    return root;
}

我也进行了解释，因为p和q都存在于树中，所以这段代码恰好可以解决最近公共祖先的第二种情况：

但对于这道题来说，p和q不一定存在于树中，所以你不能遇到一个目标值就直接返回，而应该对二叉树进行完全搜索（遍历每一个节点），如果发现p或q不存在于树中，那么是不存在LCA的。

回想我在文章开头分析的几种find函数的写法，哪种写法能够对二叉树进行完全搜索来着？

这种：

TreeNode find(TreeNode root, int val) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 先去左右子树寻找
    TreeNode left = find(root.left, val);
    TreeNode right = find(root.right, val);
    // 后序位置，判断 root 是不是目标节点
    if (root.val == val) {
        return root;
    }
    // root 不是目标节点，再去看看哪边的子树找到了
    return left != null ? left : right;
}

那么解决这道题也是类似的，我们只需要把前序位置的判断逻辑放到后序位置即可：

// 用于记录 p 和 q 是否存在于二叉树中
boolean foundP = false, foundQ = false;

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    TreeNode res = find(root, p.val, q.val);
    if (!foundP || !foundQ) {
        return null;
    }
    // p 和 q 都存在二叉树中，才有公共祖先
    return res;
}

// 在二叉树中寻找 val1 和 val2 的最近公共祖先节点
TreeNode find(TreeNode root, int val1, int val2) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    TreeNode left = find(root.left, val1, val2);
    TreeNode right = find(root.right, val1, val2);

    // 后序位置，判断当前节点是不是 LCA 节点
    if (left != null && right != null) {
        return root;
    }

    // 后序位置，判断当前节点是不是目标值
    if (root.val == val1 || root.val == val2) {
        // 找到了，记录一下
        if (root.val == val1) foundP = true;
        if (root.val == val2) foundQ = true;
        return root;
    }

    return left != null ? left : right;
}

这样改造，对二叉树进行完全搜索，同时记录p和q是否同时存在树中，从而满足题目的要求。

接下来，我们再变一变，如果让你在二叉搜索树中寻找p和q的最近公共祖先，应该如何做呢？

PS：二叉搜索树相关的题目详解见 东哥带你刷二叉搜索树。

看力扣第 235 题「二叉搜索树的最近公共祖先」：

给你输入一棵不含重复值的二叉搜索树，以及存在于树中的两个节点p和q，请你计算p和q的最近公共祖先节点。

把之前的解法代码复制过来肯定也可以解决这道题，但没有用到 BST「左小右大」的性质，显然效率不是最高的。

在标准的最近公共祖先问题中，我们要在后序位置通过左右子树的搜索结果来判断当前节点是不是LCA：

TreeNode left = find(root.left, val1, val2);
TreeNode right = find(root.right, val1, val2);

// 后序位置，判断当前节点是不是 LCA 节点
if (left != null && right != null) {
    return root;
}

但对于 BST 来说，根本不需要老老实实去遍历子树，由于 BST 左小右大的性质，将当前节点的值与val1和val2作对比即可判断当前节点是不是LCA：

假设val1 < val2，那么val1 <= root.val <= val2则说明当前节点就是LCA；若root.val比val1还小，则需要去值更大的右子树寻找LCA；若root.val比val2还大，则需要去值更小的左子树寻找LCA。

依据这个思路就可以写出解法代码：

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    // 保证 val1 较小，val2 较大
    int val1 = Math.min(p.val, q.val);
    int val2 = Math.max(p.val, q.val);
    return find(root, val1, val2);
}

// 在 BST 中寻找 val1 和 val2 的最近公共祖先节点
TreeNode find(TreeNode root, int val1, int val2) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    if (root.val > val2) {
        // 当前节点太大，去左子树找
        return find(root.left, val1, val2);
    }
    if (root.val < val1) {
        // 当前节点太小，去右子树找
        return find(root.right, val1, val2);
    }
    // val1 <= root.val <= val2
    // 则当前节点就是最近公共祖先
    return root;
}

再看最后一道最近公共祖先的题目吧，力扣第 1650 题「二叉树的最近公共祖先 III」，这次输入的二叉树节点比较特殊，包含指向父节点的指针：

class Node {
    int val;
    Node left;
    Node right;
    Node parent;
};

给你输入一棵存在于二叉树中的两个节点p和q，请你返回它们的最近公共祖先，函数签名如下：

Node lowestCommonAncestor(Node p, Node q);

由于节点中包含父节点的指针，所以二叉树的根节点就没必要输入了。

这道题其实不是公共祖先的问题，而是单链表相交的问题，你把parent指针想象成单链表的next指针，题目就变成了：

给你输入两个单链表的头结点p和q，这两个单链表必然会相交，请你返回相交点。

我在前文 单链表的六大解题套路 中详细讲解过求链表交点的问题，具体思路在本文就不展开了，直接给出本题的解法代码：

Node lowestCommonAncestor(Node p, Node q) {
    // 施展链表双指针技巧
    Node a = p, b = q;
    while (a != b) {
        // a 走一步，如果走到根节点，转到 q 节点
        if (a == null) a = q;
        else           a = a.parent;
        // b 走一步，如果走到根节点，转到 p 节点
        if (b == null) b = p;
        else           b = b.parent;
    }
    return a;
}

至此，5 道最近公共祖先的题目就全部讲完了，前 3 道题目从一个基本的find函数衍生出解法，后 2 道比较特殊，分别利用了 BST 和单链表相关的技巧，希望本文对你有启发。