【数据结构】核心数据结构之二叉堆的原理及实现

1.大顶堆和小顶堆原理

• 什么是堆

  • 堆（Heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构，通常是一个可以被看作一颗完全二叉树的数组对象。

  • 完全二叉树

    • 只有最下面两层节点的度可以小于2，并且最下层的叶节点集中在靠左连续的边界

    • 只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，完全二叉树需保证最后一个节点之前的节点都齐全；

    • 对任一结点，如果其右子树的深度为j，则其左子树的深度必为j或j+1

• 什么是大顶堆（最大堆）
  • 大顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都大于或等于其子节点的值，即根节点的值最大。
  • 每个节点的两个子节点顺序没做要求，和之前的二叉查找树不一样。

• 什么是小顶堆（最小堆）

  • 小顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都小于或等于其子节点的值，即根节点的值最小。

  • 每个节点的两个子节点顺序没做要求，和之前的二叉查找树不一样

• 存储原理

  • 一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆。
  • 堆是一种非线性结构，用数组来存储完全二叉树是非常节省空间的，把堆看作一个数组。
    • 方便操作，一般数组的下标0不存储，直接从1节点存储。
  • 堆其实就是利用完全二叉树的结构来维护一个数组
  • 数据下表为k的节点
    • 左子节点下标为2*k的节点。
    • 右子节点就是下表为2*k+1的节点。
    • 父节点就是下标为k/2取证的节点。

• 公式描述一下堆的定义

  • 大顶堆：arr[k] >= arr[2k+1] && arr[k] >= arr[2k]
  • 小顶堆：arr[k] <= arr[2k+1] && arr[k] <=arr[ak]

• 小顶堆动画效果演示

• 往堆中插入新元素，就是往数组中从索引0或1开始依次存放数据，但是顺序需要满足堆的特性

• 如何让堆满足：
  • 不断比较新节点 arr[k]和对应父节点arr[k/2]的大小，根据情况交互元素位置
  • 直到找到的父节点比当前新增节点大则结束

2.大顶堆构编码实现

• 大顶堆（最大堆）

  • 大顶堆是一种完全二叉树，其每个父节点的值都大于或等于其子节点的值，即根节点的值最大

• 编码实现

public class Heap {

    //用数组存储堆中的元素
    private int[] items;

    //堆中元素的个数
    private int num;

    public Heap(int capacity) {
        //数组下标0不存储数据，所以容量+1
        this.items = new int[capacity + 1];
        this.num = 0;
    }

    /**
     * 判断堆中 items[left] 元素是否小于 items[right] 的元素
     */
    private boolean rightBig(int left, int right) {
        return items[left] < items[right];
    }

    /**
     * 交换堆中的两个元素位置
     */
    private void swap(int i, int j) {
        int temp = items[i];
        items[i] = items[j];
        items[j] = temp;
    }

    /**
     * 往堆中插入一个元素，默认是最后面，++num先执行，然后进行上浮判断操作
     */
    public void insert(int value) {
        items[++num] = value;
        up(num);
    }

    /**
     * 使用上浮操作，新增元素后，重新堆化
     * 不断比较新节点 arr[k]和对应父节点arr[k/2]的大小，根据情况交互元素位置
     * 直到找到的父节点比当前新增节点大则结束
     * <p>
     * 数组中下标为 k 的节点
     * 左子节点下标为 2*k 的节点
     * 右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点
     * 父节点就是下标为 k/2 取整的节点
     */
    private void up(int k) {
        //父节点 在数组的下标是1，下标大于1都要比较
        while (k > 1) {
            //比较 父结点 和 当前结点 大小
            if (rightBig(k / 2, k)) {
                //当前节点大，则和父节点交互位置
                swap(k / 2, k);
            }
            // 往上一层比较，当前节点变为父节点
            k = k / 2;
        }
    }

    /**
     * 删除堆中最大的元素,返回这个最大元素
     */
    public int delMax() {
        int max = items[1];
        //交换索引 堆顶的元素（数组索引1的）和 最大索引处的元素，放到完全二叉树中最右侧的元素，方便后续变为临时根结点
        // 为啥不能直接删除顶部元素，因为删除后会断裂，成为森林，所以需要先交互，再删除
        swap(1, num);
        //最大索引处的元素删除掉, num--是后执行，元素个数需要减少1
        items[num--] = 0;

        //通过下浮调整堆，重新堆化
        down(1);
        return max;
    }

    /**
     * 使用下沉操作，堆顶和最后一个元素交换后，重新堆化
     * 不断比较 节点 arr[k]和对应 左节点arr[2*k] 和 右节点arr[2*k+1]的大小，如果当前结点小，则需要交换位置
     * 直到找到 最后一个索引节点比较完成  则结束
     * 数组中下标为 k 的节点
     * 左子节点下标为 2*k 的节点
     * 右子节点就是下标 为 2*k+1 的节点
     * 父节点就是下标为 k/2 取整的节点
     */
    private void down(int k) {
        //最后一个节点下标是num
        while (2 * k <= num) {
            //记录当前结点的左右子结点中，较大的结点
            int maxIndex;
            if (2 * k + 1 <= num) { //2 * k + 1 <= num 是判断 确保有右节点
                //比较当前结点下的左右子节点哪个大
                if (rightBig(2 * k, 2 * k + 1)) {
                    maxIndex = 2 * k + 1;
                } else {
                    maxIndex = 2 * k;
                }
            } else {
                maxIndex = 2 * k;
            }

            //比较当前结点 和 较大结点的值, 如果当前节点较大则结束
            if (items[k] > items[maxIndex]) {
                break;
            } else {
                //否则往下一层比较，当前节点k索引 变换为 子节点中较大的值
                swap(k, maxIndex);
                //变换k的值
                k = maxIndex;
            }

        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Heap heap = new Heap(20);
        heap.insert(42);
        heap.insert(48);
        heap.insert(93);
        heap.insert(21);
        heap.insert(90);
        heap.insert(9);
        heap.insert(3);
        heap.insert(40);
        heap.insert(32);

        int top;
        System.out.println("输出堆：");
        while ((top = heap.delMax()) != 0) {
            System.out.print(top + " ");
        }
    }
}