01、随机变量

有些随机实验的结果是用数值表示的，有些不是。当实验结果不是用数值表示时，很难对其进行描述和研究，所以有必要将实验结果数值化，这便是引入随机变量的初衷。

【例1】将一枚硬币抛掷三次，观察正面和反面出现的情况，样本空间是S={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}。以X记三次投掷得到正面H的总数，那么，对于样本空间S中的每一个样本点e，X都有一个数与之对应。X是定义在样本空间S上的一个实值单值函数，它的定义域是样本空间S，值域是实数集合{0，1，2，3}。这样的X称为随机变量。
代码如下：

运行结果如图1所示。

■ 图1

注释/

numpy.random.RandomState()是一个伪随机数生成器，和设置seed的效果是一样的。

随机变量按其取值情况可分为离散型随机变量与连续型随机变量。离散型随机变量的取值可以一一列举,连续型随机变量的取值不能一一列举。

01、离散型随机变量及其分布律

要掌握一个离散型随机变量X的统计规律，必须且只须知道X的所有可能取值以及取每个可能值的概率。本节引入 scipy的stats子模块介绍离散型随机变量。

首先引入stats，查看stats包含哪些离散型随机变量的分布,代码如下：

运行结果如图2所示。

■ 图 2

这里列出了15种离散型分布，仅介绍其中的三种——bernoulli，binom，poisson。

1. 0-1分布

0-1分布也叫伯努利（Bernoulli）分布。设随机变量X只可能取两个值0和1，它的分布律是：

则称X服从参数为p的（0-1）分布或伯努利分布。scipy中bernoulli（）对应（0-1）分布，代码如下：

运行结果如图3所示。

运行结果如图4所示。

1. 二项分布

设X为n重伯努利实验中某事件A发生的次数，X可取k=0，1，2，…，n。若P(A)=p，则X的分布律为：

称X服从参数为n，p的二项分布。scipy中binom对应二项分布，使用方法代码如下：

运行结果如图5所示。

■ 图 5

注释/
pmf是概率质量函数。rv服从参数为5，0.3的二项分布，rv. pmf(x)返回随机变量rv取值为0，1，2，3，4，5时的概率值，与使用分布律公式算得的值是一致的，代码如下：

运行结果如图6所示。

■ 图6

【例2】某种型号电子元件的使用寿命如果超过1500小时，则为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只。问20只元件中恰有k只（k=0，1，…，10）为一级品的概率是多少？

解由题意可得，20只元件中一级品的只数服从参数为20，0.2的二项分布，所求概率代码如下：

运行结果如图7所示。

进一步，可作上述结果的图形，以便对该结果有一个直观的了解，代码如下：

运行结果如图8所示。

注释/
（1） subplots（）函数返回一个包含figure和axes对象的元组，因此，使用fig,ax=plt.subplots()将元组分解为fig和ax两个变量。fig变量可用来修改figure层级的属性，ax变量中保存着子图的可操作axes对象。

（2） ax.plot(x,rv.pmf(x),'ro',ms=8,label='binom pmf')使用红色圆圈标记绘制x与rv.pmf(x)，标记大小为8，标签为binom pmf。

（3） ax. vlines(x,0,rv.pmf(x),colors='g',lw=5,alpha=0.5)在x处绘制从0到rv. pmf(x)的垂直线，线条颜色为绿色，线条宽度为5，透明度为0.5。
从图形输出结果可以看到，当k增加时，相应概率先是随之增加，增大到最大值（k=4时）后单调减少。

【例3】某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。

解代码如下：

运行结果如图9所示。

■ 图9

1. 泊松分布

设随机变量X所有可能的取值为0，1，2，…，取各个值的概率为

其中,λ>0是常数。则称X服从参数为λ的泊松分布。scipy中poisson对应泊松分布，代码如下：

运行结果如图10所示。

■ 图 10

【例4】某公司制造一种特殊型号的微芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互独立。求在1000只产品中至少有2只次品的概率。

解由题可知，产品中的次品数服从参数为n=1000，p=0.001的二项分布，这里n很大，p很小，该二项分布可用参数为n、p的泊松分布来逼近，我们尝实验证这一结论，代码如下：

运行结果如图11所示。

■ 图 11

从输出结果可以看到，两种分布下所得概率相差无几。