在逻辑代数中，卡诺图（Karnaugh map）是真值表的变形，它可以将有n个变量的逻辑函数的2^n个最小项组织在给定的长方形表格中，同时为相邻最小项（相邻与项）运用邻接律化简提供了直观的图形工具。但是，如果需要处理的逻辑函数的自变量较多（有五个或更多的时候，此时有些项就很难圈了），那么卡诺图的行列数将迅速增加，使图形更加复杂。

变量卡诺图&格雷码

• 表示各最小项的2^n（n-变量数）个小格，排列呈矩形。
• 小格按“格雷码” 排列，保证最小项间“几何相邻”与“逻辑相邻性”的统一。（几何相邻有“内相邻” “外相邻”和“中心对称”）

格雷码的应用

格雷码（循环二进制单位距离码）是任意两个相邻数的代码只有一位二进制数不同的编码，它与奇偶校验码同属可靠性编码。

传统的二进制系统例如数字3的表示法为011，要切换为邻近的数字4，也就是100时，装置中的三个位元都得要转换，因此于未完全转换的过程时装置会经历短暂的，010,001,101,110,111等其中数种状态，也就是代表着2、1、5、6、7，因此此种数字编码方法于邻近数字转换时有比较大的误差可能范围。格雷码的发明即是用来将误差之可能性缩减至最小，编码的方式定义为每个邻近数字都只相差一个位元，因此也称为最小差异码，可以使装置做数字步进时只更动最少的位元数以提高稳定性。 数字0～7的编码比较如下：

十进制 　 格雷码　二进制
0  　　 000    000
1  　　 001    001
2   　　011    010
3   　　010    011
4   　　110    100
5   　　111    101
6   　　101    110
7   　　100    111

直接排列：

• 以二进制为0值的格雷码为第零项，第一项改变最右边的位元，第二项改变右起第一个为1的位元的左边位元，第三、四项方法同第一、二项，如此反复，即可排列出n个位元的格雷码。

镜射排列：

函数卡诺图

• 最小项（Σm）：把函数包含的所有最小项，以“1”填入变量卡诺图对应编号的小格内。
• 最大项（ΠM）：把函数包含的所有最大项，以“0”填入变量卡诺图对应编号的小格内。

用卡诺图化简逻辑函数的步骤

• 如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图
• 如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。
• 合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈

• 尽量画大圈，但每个圈内只能含有2^n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
• 圈的个数尽量少。
• 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
• 在新画的包围圈中至少要含有1个未被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。

• 写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。

在进行化简时，如果用图中真值为0的项更方便，可以用他们来处理，方法和真值取1时一样，只是结果要再做一次求反。

这一部分主要以卡诺图为主。

逻辑函数化简

卡诺图化简逻辑函数

卡诺图的画法

解题步骤：

1. 确定变量数目。
2. 画出卡诺图。
3. 按照编号填1。

AB\CD	00	01	11	10
00		1(1)
01		1(5)	1(7)	1(6)
11	1(12)	1(13)	1(15)
10			1(11)

解题步骤：

1. 写出最小项形式：原变量为1，反变量为0.
2. 画出卡诺图。
3. 按编号填1。

F=AB+AC+B'C'+A'B'

F=11x+1x1+x00+00x

x分别代入0和1，填入。

A\BC	00	01	11	10
0	1(x00)(00x)	1(00x)
1	1(x00)	1(1x1)	1(11x)(1x1)	1(11x)

若两个最小项相邻，则二者仅有一个变量不同。

n变量有n个逻辑相邻项。（每个变量都变一下，能变n下，故有n个）

利用卡诺图化简逻辑函数

解题步骤：

1. 画卡诺图。
2. 画卡诺圈。
3. 写出卡诺圈对应的逻辑表达式。
4. 相或。

卡诺圈先找8个连续的1，然后找4个连续的1，然后找2个，直到所有的1都被圈起来。

• 如果一个变量既出现了0又出现了1，就把它消掉。
• 如果出现了0，就写它的反变量。
• 如果出现了1，就写它的原变量。

卡诺图化简带有无关项的逻辑函数

1. 利用最小项，在卡诺图中填写1。
2. 根据无关项对应编号，在卡诺图中填写0。

对于题干中的：

• 所有输入变量不能同时为0。
• 且A,B变量不能同时为1。

可以认为是无关项，在卡诺图中填充为x。

如果逻辑函数比较复杂，无法写出它的最小项，那么就利用真值表来画卡诺图。

• 约束条件是对输入的约束，也就是只有当输入满足条件时，它的输入才是有效的。
• 如果输入不满足条件，那么他就是无关项。

多输出函数化简

以下两幅图片来自博客园的大佬。

在此呈上链接：https://www.cnblogs.com/liuyz1996/p/15700133.html

化简与或&化简或与

前面的例子都是在化简成与或式。

如果要化简成或与式。

1. 把0看成1，把1看成0.
2. 用圈1的方法圈新1。
3. 写出最简与或式，利用反演规则，变成新式子。
4. 新式子就是最简或与式。

每个逻辑函数可能有多个最简与或和最简或与！

电路分析与设计

组合电路分析

逻辑功能、逻辑表达式、卡诺图、波形之间的相互转换。

全加器和半加器的区别就是，全加器包含了来自低位的进位。

组合逻辑电路设计

从逻辑电路图得到逻辑表达式时：

• 从输入依次得到输出。

从逻辑表达式得到逻辑电路图时：

• 从输出依次得到输入。

BCD码只能表示0-9十位数字，所以10-16就是无关项，在卡诺图中填x。

利用与或求与非的步骤：

1. 加两个长非号。
2. 反演规则。
3. 得到与非表达式。

竞争与冒险

组合逻辑电路的竞争与冒险是由于电路中存在延时引起的。

当卡诺圈存在相切时，就存在竞争与冒险。

要消除竞争与冒险，就要把相切的部分给消除掉。变成相交。