【算法】前缀和与差分

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前缀和差分是一对逆运算

1.一维前缀和

有一个长度为n的数组an:a1,a2…an;

对于前缀和：Si= a1+a2+…+ai

如何求Si,S[i] = s[i-1]+a[i]

前缀和可以快速求出原数组里面一段数的和。比如求一段区间[l,r],如果按照原来的做法，需要循环一遍，O(n),有前缀和的算法：

这个区间的数就是(Sr) - (sl-1)。同时，为了方便计算令s[0] = 0.比如计算[1,l],既s[l]-s[0] = s[l].

其实前缀和就是一个区间相减的操作，统一处理。前缀和其实是非常简单的

练习题：

输入一个长度为 nn 的整数序列。

接下来再输入 mm 个询问，每个询问输入一对 l,rl,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 ll 个数到第 rr 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

第二行包含 nn 个整数，表示整数数列。

接下来 mm 行，每行包含两个整数 ll 和 rr，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 mm 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤1000001≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n,m;
int a[N],S[N];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1;i<=n;i++) S[i] = S[i-1]+a[i];
    while(m--)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",S[r]-S[l-1]);
    }
    return 0;
}

2.二维前缀和

二维前缀和是在一个二维矩阵里求子矩阵的和

练习题：

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，qn，m，q。

接下来 nn 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。

接下来 qq 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 qq 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤10001≤n,m≤1000,
1≤q≤2000001≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000\

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m,q;
long a[N][N],s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            //求前缀和
            s[i][j] = s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}

3.一维差分

给定a[1],a[2],…,a[n]构造差分数组b[N],使得a[i] = b[1]+b[2]+…+b[i]

b1 = a1,b2 = a2-a1,b3 = a3-a2,直到bn = an-an-1

b是a的差分，a是b的前缀和。有b数组就可以通过O(n)的时间复杂度得到a数组。

推导过程：

现在在a数组[L,R]中全部加上C，那就是al+C,al+1+C,…,ar+C,通过暴力的方式O(n)可以求解，那差分可以变成O(1)

在[L,R]中，如果我们在b数组bl+C,那么al也会加上C，al+1也会加上C…an+1也会加上C，因为每一次都会加上一个bl。但是我们只要al到ar加上C，那么ar后面不要加上C，那么我们直接让br-c即可完成数组a在[L,R]范围里全部加上C。

核心操作是将a[L~R]全部加上C等价于b[L] +=C,b[R+1]-=C

把O(n)提高到O(1)

假定a数组全是初始化为0，那b数组也是全为0，但是题目a数组并不是0，我们可以看成进行n次插入操作，第一次是在原数组a[1,1]加上a1,第二次是在原数组a[2,2]加上a2…以此类推即可，所以并不需要去想如何构造差分

题目：

输入一个长度为 nn 的整数序列。

接下来输入 mm 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,cl,r,c，表示将序列中 [l,r][l,r] 之间的每个数加上 cc。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

第二行包含 nn 个整数，表示整数序列。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 l，r，cl，r，c，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 nn 个整数，表示最终序列。

数据范围

1≤n,m≤1000001≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;

int n,m;
int a[N],b[N];

void insert(int l,int r,int c)
{
    b[l]+=c;
    b[r+1]-=c;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        insert(i,i,a[i]);
    }
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        insert(l,r,c);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++) a[i] = a[i-1]+b[i];
    for(int i = 1;i<=n;i++) printf("%d ",a[i]);
    return 0;
}

4.二维差分

二维差分也是一样的道理

练习题：

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,cx1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)(x1,y1) 和 (x2,y2)(x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 cc。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,qn,m,q。

接下来 nn 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。

接下来 qq 行，每行包含 55 个整数 x1,y1,x2,y2,cx1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 nn 行，每行 mm 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤10001≤n,m≤1000,
1≤q≤1000001≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
void Insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            Insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        Insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j] += b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
        }
    }
     for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(int j = 1;j<=m;j++)
        {
            printf("%d ",b[i][j]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}