【算法】高精度问题

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高精度：利用计算机进行数值计算，有时会遇到这样的问题：有些计算要求精度高，希望计算的数的位数可达几十位甚至几百位，虽然计算机的计算精度也算较高了，但因受到硬件的限制，往往达不到实际问题所要求的精度。我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算。

由于C++中没有处理专门去处理大整数的类，我们可以用字符串或者STL的容器来处理大整数的加减乘除

1.高精度加法

由于进位进行的原因，我们可以利用整数的逆序存进我们的vector容器中，更加方便我们的计算。从末尾开始进行加减，取余存放，最后去判断余数即可

给定两个正整数（不含前导 00），计算它们的和。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共一行，包含所求的和。

数据范围

1≤整数长度≤1000001≤整数长度≤100000

输入样例：

12

23

输出样例：

35

模板：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> add(vector<int>&A,vector<int>&B)
{
    vector<int> c;
    int t=0;
    for(int i = 0;i<A.size()||i<B.size();i++)
    {
        if(i<A.size()) t+=A[i];
        if(i<B.size()) t+=B[i];
        c.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    if(t) c.push_back(1);
    return c;
}

int main()
{
    string a,b;
    cin>>a>>b;
    vector<int>A,B;
    for(int i = a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    for(int i = b.size()-1;i>=0;i--) B.push_back(b[i]-'0');
    
    auto c = add(A,B);
    for(int i = c.size()-1;i>=0;i--)
    {
        printf("%d",c[i]);
    }
    return 0;
}

实际应用题：数组形式的整数加法

整数的 数组形式 num 是按照从左到右的顺序表示其数字的数组。

例如，对于 num = 1321 ，数组形式是 [1,3,2,1] 。
给定 num ，整数的 数组形式 ，和整数 k ，返回 整数 num + k 的 数组形式 。

示例 1：

输入：num = [1,2,0,0], k = 34
输出：[1,2,3,4]
解释：1200 + 34 = 1234

示例 2：

输入：num = [2,7,4], k = 181
输出：[4,5,5]
解释：274 + 181 = 455
示例 3：

输入：num = [2,1,5], k = 806
输出：[1,0,2,1]
解释：215 + 806 = 1021

类似题目：上手代码：

class Solution {
    vector<int> add(vector<int>&A,vector<int>&B)
    {
        vector<int> C;
        int t = 0;
        for(int i = 0;i<A.size()||i<B.size();i++)
        {
            if(i<A.size()) t+=A[i];
            if(i<B.size()) t+=B[i];
            C.push_back(t%10);
            t/=10;
        }
        if(t) C.push_back(1);
        return C;
    }
public:
    vector<int> addToArrayForm(vector<int>& num, int k) {
       reverse(num.begin(),num.end());
        vector<int> A;
        int tmp = k;
        while(k)
        {
            A.push_back(k%10);
            k/=10;
        }
        auto c = add(num,A);
        reverse(c.begin(),c.end());
        return c;
    }
};

2.高精度减法

每次相减不够就往上一位借位，要注意上一位有没有借位。对于两个数，大的减去小的直接算，小的减去大的相当于大的减去小的加负号即可

给定两个正整数（不含前导 00），计算它们的差，计算结果可能为负数。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共一行，包含所求的差。

数据范围

1≤整数长度≤1051≤整数长度≤105

输入样例：

32

21

输出样例：

21

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        if (A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];
    }
    return true;
}
vector<int> sub(vector<int>& A, vector<int>& B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i++)
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];

        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else  t = 0;
    }

    //去掉前导0
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}
int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    vector<int> A, B;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');
    if (cmp(A, B))
    {
        auto c = sub(A, B);
        for (int i = c.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
    }
    else
    {
        auto c = sub(B, A);
        printf("-");
        for (int i = c.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", c[i]);
    }
    return 0;
}

3.高精度乘低精度

给定两个非负整数（不含前导 00） AA 和 BB，请你计算 A×BA×B 的值。

输入格式

共两行，第一行包含整数 AA，第二行包含整数 BB。

输出格式

共一行，包含 A×BA×B 的值。

数据范围

1≤A的长度≤1000001≤A的长度≤100000,
0≤B≤100000≤B≤10000

输入样例：

2

3

输出样例：

6

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int>& A,int b)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = 0;i<A.size()||t;i++)
    {
        if(i<A.size()) t+=A[i]*b;
        C.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
    return C;
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    cin>>a>>b;
    vector<int> A;
    for(int i = a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    
    auto C = mul(A,b);
    for(int i = C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);
    return 0;
}

4.高精度除低精度

高精度除法除了返回商，还有余数。除法是从最高位开始算，前面都是从最低位开始算。

给定两个非负整数（不含前导 00） A，BA，B，请你计算 A/BA/B 的商和余数。

输入格式

共两行，第一行包含整数 AA，第二行包含整数 BB。

输出格式

共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。

数据范围

1≤A的长度≤1000001≤A的长度≤100000,
1≤B≤100001≤B≤10000,
BB 一定不为 00

输入样例：

7

2

输出样例：

3

1

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

//  A/b ,c是商，余数是r
vector<int> div(vector<int>& A,int b,int& r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for(int i = A.size()-1;i>=0;i--)
    {
        r = r*10+A[i];
        C.push_back(r/b);
        r%=b;
    }
    reverse(C.begin(),C.end());
    while(C.size()>1&&C.back()==0) C.pop_back();
    return C;
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    cin>>a>>b;
    vector<int> A;
    for(int i = a.size()-1;i>=0;i--) A.push_back(a[i]-'0');
    int r;
    auto C = div(A,b,r);
    for(int i = C.size()-1;i>=0;i--) printf("%d",C[i]);
    cout<<endl<<r<<endl;
    return 0;
}