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代码的路 发表于 2023/01/12 10:27:36 2023/01/12
【摘要】 原文链接  Markdown 公式指导手册 Markdown 公式指导手册 二、矩阵使用参考 1.如何输入无框矩阵 2.如何输入边框矩阵 3.如何输入带省略符号的矩阵 4.如何输入带分割符号的矩阵 5.如何输入行中矩阵 三、方程式序列使用参考 1.如何输入一个方程式序列 2.在一个方程式序列的每一行中注明原因 四、条件表达式使用参考 1.如何输入一个条件表达式 2.如何输入一个左侧对齐的条件...

原文链接
 

Markdown 公式指导手册


二、矩阵使用参考

1.如何输入无框矩阵

在开头使用 \begin{matrix},在结尾使用 \end{matrix},在中间插入矩阵元素,每个元素之间插入 & ,并在每行结尾处使用 \\
使用矩阵时必须声明 $$$ 符号。

  • 例子:
$$
\begin{matrix}
    1 & x & x^2 \\
    1 & y & y^2 \\
    1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
$$
  • 显示:

1 x x 2 1 y y 2 1 z z 2 \begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{matrix}

2.如何输入边框矩阵

在开头将 matrix 替换为 pmatrix bmatrix Bmatrix vmatrix Vmatrix

  • 例子:
$ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix} $
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} $
$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} $
$ \begin{Bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{Bmatrix} $
$ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix} $
$ \begin{Vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{Vmatrix} $
  • 显示:

matrix:

1 2 3 4 \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix}

pmatrix:

( 1 2 3 4 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}

bmatrix:

[ 1 2 3 4 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}

Bmatrix:

{ 1 2 3 4 } \begin{Bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{Bmatrix}

vmatrix:

1 2 3 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{vmatrix}

Vmatrix:

1 2 3 4 \begin{Vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{Vmatrix}

3.如何输入带省略符号的矩阵

使用 \cdots \cdots , \ddots \ddots , \vdots \vdots 来输入省略符号。

  • 例子:
$$
\begin{pmatrix}
    1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\
    1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n \\
\end{pmatrix}
$$
  • 显示:

( 1 a 1 a 1 2 a 1 n 1 a 2 a 2 2 a 2 n 1 a m a m 2 a m n ) \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_m & a_m^2 & \cdots & a_m^n \\ \end{pmatrix}

4.如何输入带分割符号的矩阵

详见数组使用参考

  • 例子:
$$
\left[
    \begin{array}{cc|c}
        1 & 2 & 3 \\
        4 & 5 & 6 \\
    \end{array}
\right]
$$
  • 显示:

[ 1 2 3 4 5 6 ] \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{array} \right]

其中 cc|c 代表在一个三列矩阵中的第二和第三列之间插入分割线。

5.如何输入行中矩阵

若想在一行内显示矩阵,可使用 \bigl(\begin{smallmatrix} 表达式 \end{smallmatrix}\bigr)

  • 例子:
这是一个行中矩阵的示例 $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)$ 
  • 显示:

这是一个行中矩阵的示例 ( a b c d ) \bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)

三、方程式序列使用参考

1.如何输入一个方程式序列

人们经常想要一列整齐且居中的方程式序列。使用 \begin{align}…\end{align} 来创造一列方程式,其中在每行结尾处使用 \\ 。使用方程式序列无需声明公式符号 $$$

请注意 {align} 语句是自动编号的,使用 {align*} 声明不自动编号。

  • 例子:
\begin{align}
    \sqrt{37} & = \sqrt{\frac{73^2-1}{12^2}} \\
              & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}\cdot\frac{73^2-1}{73^2}} \\ 
              & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}}\sqrt{\frac{73^2-1}{73^2}} \\
              & = \frac{73}{12}\sqrt{1-\frac{1}{73^2}} \\ 
              & \approx \frac{73}{12}\left(1-\frac{1}{2\cdot73^2}\right) \\
\end{align}
  • 显示:

    \begin{align} \sqrt{37} & = \sqrt{\frac{73^2-1}{12^2}} \\ & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}\cdot\frac{73^2-1}{73^2}} \\ & = \sqrt{\frac{73^2}{12^2}}\sqrt{\frac{73^2-1}{73^2}} \\ & = \frac{73}{12}\sqrt{1-\frac{1}{73^2}} \\ & \approx \frac{73}{12}\left(1-\frac{1}{2\cdot73^2}\right) \\ \end{align}

本例中每行公式的编号续自“[如何插入公式](# 1如何插入公式)”中的自动编号公式\eqref{eq:sample} 。

2.在一个方程式序列的每一行中注明原因

{align} 中后添加 & 符号来自动对齐后面的内容,可灵活组合 \text\tag 语句。\tag 语句编号优先级高于自动编号。

  • 例子:
\begin{align}
    v + w & = 0  & \text{Given} \tag 1 \\
       -w & = -w + 0 & \text{additive identity} \tag 2 \\
   -w + 0 & = -w + (v + w) & \text{equations $(1)$ and $(2)$} \\
\end{align}
  • 显示:

    \begin{align} v + w & = 0 & \text{Given} \tag 1 \\ -w & = -w + 0 & \text{additive identity} \tag 2 \\ -w + 0 & = -w + (v + w) & \text{equations $(1)$ and $(2)$} \\ \end{align}

本例中第一、第二行的自动编号被 \tag 语句覆盖,第三行的编号为自动编号。

如何引用 \tag 标记的公式?
使用 \tag{yourtag} 来标记公式,然后在 \tag 之后加上 \label{yourlabel}

四、条件表达式使用参考

1.如何输入一个条件表达式

使用 \begin{cases}…\end{cases} 来创造一组条件表达式,在每一行条件中插入 & 来指定需要对齐的内容,并在每一行结尾处使用 \\

  • 例子:
$$
    f(n) =
        \begin{cases}
            n/2,  & \text{if $n$ is even} \\
            3n+1, & \text{if $n$ is odd} \\
        \end{cases}
$$
  • 显示:

f ( n ) = { n / 2 , if  n  is even 3 n + 1 , if  n  is odd f(n) = \begin{cases} n/2, & \text{if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \\ \end{cases}

用 markdown+math 编辑时 \text 内需用 \(equation\)

2.如何输入一个左侧对齐的条件表达式

若想让文字在左侧对齐显示,则有如下方式:

  • 例子:
$$
    \left.
        \begin{array}{l}
            \text{if $n$ is even:} & n/2 \\
            \text{if $n$ is odd:} & 3n+1 \\
        \end{array}
    \right\}
    =f(n)
$$
  • 显示:

if  n  is even: n / 2 if  n  is odd: 3 n + 1 } = f ( n ) \left. \begin{array}{l} \text{if $n$ is even:} & n/2 \\ \text{if $n$ is odd:} & 3n+1 \\ \end{array} \right\} =f(n)

3.如何使条件表达式适配行高

在一些情况下,条件表达式中某些行的行高为非标准高度,此时使用 \\[2ex] 语句代替该行末尾的 \\ 来让编辑器适配。

  • 例子:

不适配:

$$
f(n) = 
    \begin{cases}
        \frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\
        3n+1,        & \text{if $n$ is odd} \\
    \end{cases}
$$

适配:

$$
f(n) = 
    \begin{cases}
        \frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\[2ex]
        3n+1,        & \text{if $n$ is odd} \\
    \end{cases}
$$
  • 显示:

不适配:

f ( n ) = { n 2 , if  n  is even 3 n + 1 , if  n  is odd f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \\ \end{cases}

适配:

f ( n ) = { n 2 , if  n  is even 3 n + 1 , if  n  is odd f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{if $n$ is even} \\[2ex] 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \\ \end{cases}

一个 [ex] 指一个 “X-Height”,即 x 字母高度。可以根据情况指定多个 [ex],如 [3ex][4ex] 等。
其实可以在任意换行处使用 \\[2ex] 语句,只要你觉得合适。

五、数组与表格使用参考

1.如何输入一个数组或表格

通常,一个格式化后的表格比单纯的文字或排版后的文字更具有可读性。
数组和表格均以 \begin{array} 开头,并在其后定义列数及每一列的文本对齐属性,c l r 分别代表居中、左对齐及右对齐。若需要插入垂直分割线,在定义式中插入 | ,若要插入水平分割线,在下一行输入前插入 \hline
与矩阵相似,每行元素间均须要插入 & ,每行元素以 \\ 结尾,最后以 \ end{array} 结束数组。
使用单个数组或表格时无需声明 $$$ 符号。

  • 例子:
\begin{array}{c|lcr}
    n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\
    \hline
    1 & 0.24 & 1 & 125 \\
    2 & -1 & 189 & -8 \\
    3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
\end{array}
  • 显示:

    n 左对齐 居中对齐 右对齐 1 0.24 1 125 2 1 189 8 3 20 2000 1 + 10 i \begin{array}{c|lcr} n & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\ \end{array}

2.如何输入一个嵌套的数组或表格

多个数组\表格可 互相嵌套 并组成一组数组或表格。
使用嵌套前必须声明 $$ 符号。

  • 例子:
$$
\begin{array}{c} % 总表格
    \begin{array}{cc} % 第一行内分成两列
        \begin{array}{c|cccc} % 第一列"最小值"数组
            \text{min} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
            \hline
            0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
            1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
            2 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
            3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
        \end{array}
        &
        \begin{array}{c|cccc} % 第二列"最大值"数组
            \text{max} & 0 & 1 & 2 & 3 \\
            \hline
            0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
            1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\
            2 & 2 & 2 & 2 & 3 \\
            3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\
        \end{array}
    \end{array} % 第一行表格组结束
    \\
    \begin{array}{c|cccc} % 第二行 Delta 值数组
        \Delta & 0 & 1 & 2 & 3 \\
        \hline
        0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
        1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\
        2 & 2 & 1 & 0 & 1 \\
        3 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
    \end{array} % 第二行表格结束
\end{array} % 总表格结束
$$
  • 显示:

min 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 2 0 1 2 2 3 0 1 2 3 max 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 1 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 Δ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 0 1 2 2 2 1 0 1 3 3 2 1 0 \begin{array}{c} % 总表格 \begin{array}{cc} % 第一行内分成两列 \begin{array}{c|cccc} % 第一列"最小值"数组 \text{min} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \end{array} & \begin{array}{c|cccc} % 第二列"最大值"数组 \text{max} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ \end{array} \end{array} % 第一行表格组结束 \\ \begin{array}{c|cccc} % 第二行 Delta 值数组 \Delta & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ \end{array} % 第二行表格结束 \end{array} % 总表格结束

3.如何输入一个方程组

可以使用 \begin{array} … \end{array}\left\{ … \right. 来创建一个方程组:

  • 例子:
$$
\left\{ 
    \begin{array}{c}
        a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ 
        a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ 
        a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \\
    \end{array}
\right. 
$$
  • 显示:

{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \\ \end{array} \right.

或使用条件表达式组 \begin{cases} … \end{cases} 来实现相同效果:

  • 例子:
\begin{cases}
    a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ 
    a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ 
    a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \\
\end{cases}
  • 显示:

\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \
a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \
\end{cases}

六、连分数使用参考

1.如何输入一个连分式

就像输入分式时使用 \frac 一样,使用 \cfrac 来创建一个连分数。

  • 例子:
$$
x = a_0 + \cfrac{1^2}{a_1 +
            \cfrac{2^2}{a_2 +
              \cfrac{3^2}{a_3 +
                \cfrac{4^4}{a_4 + 
                  \cdots
                }
              }
            }
          }
$$
  • 显示:

x = a 0 + 1 2 a 1 + 2 2 a 2 + 3 2 a 3 + 4 4 a 4 + x = a_0 + \cfrac{1^2}{a_1 + \cfrac{2^2}{a_2 + \cfrac{3^2}{a_3 + \cfrac{4^4}{a_4 + \cdots } } } }

不要使用普通的 \frac\over 来生成连分数,看起来会很奇怪。

  • 反例:
$$
x = a_0 + \frac{1^2}{a_1 +
            \frac{2^2}{a_2 +
              \frac{3^2}{a_3 +
                \frac{4^4}{a_4 + 
                  \cdots
                }
              }
            }
          }
$$
  • 显示:

x = a 0 + 1 2 a 1 + 2 2 a 2 + 3 2 a 3 + 4 4 a 4 + x = a_0 + \frac{1^2}{a_1 + \frac{2^2}{a_2 + \frac{3^2}{a_3 + \frac{4^4}{a_4 + \cdots } } } }

当然,你可以使用 \frac 来表达连分数的紧缩记法

  • 例子:
$$
x = a_0 + \frac{1^2}{a_1 +}
          \frac{2^2}{a_2 +}
          \frac{3^2}{a_3 +}
          \frac{4^4}{a_4 +}
          \cdots
$$
  • 显示:

x = a 0 + 1 2 a 1 + 2 2 a 2 + 3 2 a 3 + 4 4 a 4 + x = a_0 + \frac{1^2}{a_1 +} \frac{2^2}{a_2 +} \frac{3^2}{a_3 +} \frac{4^4}{a_4 +} \cdots

连分数通常都太大以至于不易排版,所以建议在连分数前后声明 $$ 符号,或使用像 [a0,a1,a2,a3,…] 一样的紧缩记法。

七、交换图表使用参考

1.如何输入一个交换图表

推荐使用 Cmd Markdown 自带的各种图功能,详见 Cmd Markdown 高阶语法手册

使用一行 \require{AMScd} 语句来允许交换图表的显示。
声明交换图表后,语法与矩阵相似,在开头使用 \begin{CD},在结尾使用 \ end{CD},在中间插入图表元素,每个元素之间插入 & ,并在每行结尾处使用 \\

  • 例子:
$$
\require{AMScd}
\begin{CD}
    A @>a>> B \\
    @V b V V\# @VV c V \\
    C @>>d> D \\
\end{CD}
$$
  • 显示:
\require{AMScd} \begin{CD} A @>a>> B \\ @V b V V\# @VV c V \\ C @>>d> D \\ \end{CD}

其中,@>>> 代表右箭头、@<<< 代表左箭头、@VVV 代表下箭头、@AAA 代表上箭头、@= 代表水平双实线、@| 代表竖直双实线、@.代表没有箭头。
@>>>>>> 之间任意插入文字即代表该箭头的注释文字。

  • 例子:
$$
\require{AMDcd}
\begin{CD}
    A @>>> B @>{\text{very long label}}>> C \\
    @. @AAA @| \\
    D @= E @<<< F \\
\end{CD}
$$
  • 显示:
\require{AMDcd} \begin{CD} A @>>> B @>{\text{very long label}}>> C \\ @. @AAA @| \\ D @= E @<<< F \\ \end{CD}

在本例中,very long label 自动延长了它所在箭头以及对应箭头的长度,因而交换图表十分适合进行化学反应式的书写。

  • 例子:
$$
\require{AMDcd}
\begin{CD}
    \rm{RCOHR^{'}SO_3Na} @>{\large\text{Hydrolysis, $\Delta$, Dil.HCl}}>> \rm{(RCOR^{'})+NaCl+SO_2+ H_2O}
\end{CD}
$$
  • 显示:
\require{AMDcd} \begin{CD} \rm{RCOHR^{'}SO_3Na} @>{\large\text{Hydrolysis, $\Delta$, Dil.HCl}}>> \rm{(RCOR^{'})+NaCl+SO_2+ H_2O} \end{CD}

八、一些特殊的注意事项

现在指出的小问题并不会影响公式的正确显示,但能让它们看起来明显更好看。初学者可无视这些建议,自然会有强迫症患者替你们改掉它的,或者更可能地,不会有人在意这些细节。

在以 e e 为底的指数函数、极限和积分中尽量不要使用 \frac 符号——它会使整段函数看起来很奇怪并可能产生歧义,因此它在专业数学排版中几乎从不出现。可试着横着写这些分式,中间使用斜线间隔 / (用斜线代替分数线)。

  • 例子:
\begin{array}{cc}
    \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\
    \hline \\
    \large e^{i\frac{\pi}2} \quad e^{\frac{i\pi}2}& \large e^{i\pi/2} \\[2ex]
    \int_{-\frac\pi2}^\frac\pi2 \sin x\,dx & \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x\,dx \\
\end{array}
  • 显示:

    B a d B e t t e r e i π 2 e i π 2 e i π / 2 π 2 π 2 sin x d x π / 2 π / 2 sin x d x \begin{array}{cc} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \large e^{i\frac{\pi}2} \quad e^{\frac{i\pi}2}& \large e^{i\pi/2} \\[2ex] \int_{-\frac\pi2}^\frac\pi2 \sin x\,dx & \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x\,dx \\ \end{array}

使用 | 符号作为分隔符时会产生错误的间距,因此在需要分隔时最好使用 \mid 来代替它。

  • 例子:
\begin{array}{cc}
    \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\
    \hline \\
    \{x|x^2\in\Bbb Z\} & \{x\mid x^2\in\Bbb Z\} \\
\end{array}
  • 显示:

    B a d B e t t e r { x x 2 Z } { x x 2 Z } \begin{array}{cc} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \{x|x^2\in\Bbb Z\} & \{x\mid x^2\in\Bbb Z\} \\ \end{array}

使用多重积分符号时,不要多次使用 \int 来声明,直接使用 \iint 来表示二重积分或 \iiint 来表示三重积分。
在表示面积分和体积分时下标建议使用 \boldsymbol{S}\boldsymbol{V} 符号;对于多维函数的超体积,可使用 \idotsint,如下面的例子所示。

  • 例子:
\begin{array}{cc}
    \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\
    \hline \\
    \int\int_S f(x)\,dy\,dx & \iint_{\boldsymbol{S}} f(x)\,{\rm d}y\,{\rm d}x \\
    \int\int\int_V f(x)\,dz\,dy\,dx & \iiint_{\boldsymbol{V}} f(x)\,{\rm d}z\,{\rm d}y\,{\rm d}x \\[3ex]
    \hline \\
    \text{多重积分示例} & \idotsint_{\boldsymbol{D}} f(x_1,x_2,\,\cdots\, ,x_n)\,{\rm d}x_1\cdots{\rm d}x_n
\end{array}
  • 显示:
\require{AMSmath} \begin{array}{cc} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \int\int_S f(x)\,dy\,dx & \iint_{\boldsymbol{S}} f(x)\,{\rm d}y\,{\rm d}x \\ \int\int\int_V f(x)\,dz\,dy\,dx & \iiint_{\boldsymbol{V}} f(x)\,{\rm d}z\,{\rm d}y\,{\rm d}x \\[3ex] \hline \\ \text{多重积分示例} & \idotsint_{\boldsymbol{D}} f(x_1,x_2,\,\cdots\, ,x_n)\,{\rm d}x_1\cdots{\rm d}x_n \end{array}

使用多重积分时,在被积变量后加入 \, (或在微分符号 d {\rm d} 之前)来插入一个小的间距,否则各种被积变量将会挤成一团。注意比较 d z d y d x {\rm d}z{\rm d} y{\rm d} x 的不同。

  • 例子:
\begin{array}{cc}
    \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\
    \hline \\
    \iiint_V f(x){\rm d}z {\rm d}y {\rm d}x & \iiint_{\boldsymbol{V}} f(x)\,{\rm d}z\,{\rm d}y\,{\rm d}x \\
\end{array}
  • 显示:

    B a d B e t t e r V f ( x ) d z d y d x V f ( x ) d z d y d x \begin{array}{cc} \mathrm{Bad} & \mathrm{Better} \\ \hline \\ \iiint_V f(x){\rm d}z {\rm d}y {\rm d}x & \iiint_{\boldsymbol{V}} f(x)\,{\rm d}z\,{\rm d}y\,{\rm d}x \\ \end{array}




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