使用FFT计算滑动平均(MA)模型参数

使用FFT计算滑动平均(MA)模型参数

利用时间序列自相关函数与滑动平均(Moving Average，MA)模型参数的关系，采用快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)算法实现MA模型参数的快速估计，所得到的MA模型具有最小相位性质。MA模型也是现代谱估计中常用的模型，m阶滑动平均模型的自相关系数是m阶截尾的，偏相关系数是拖尾的。根据MA模型可计算信号功率谱密度。对于非平稳时间序列一般采用差分法得到想要的平稳序列。

设MA模型的阶数为m(记为MA(m))，w(t)是零均值高斯白噪声序列，则时间序列x(t)的滑动平均(MA)模型定义为：

其中b(i)，i = 0,1,…,m是MA(m)模型的参数，且b(0)恒等于1。

根据参考文献，总结利用FFT计算MA(m)模型的参数过程如下：

①计算自相函数估计值，c[i]，i=0,1,…,K-1，K是2的整数次幂(如K=1024)，且K远大于阶次m，由于MA序列自相关函数具有截尾性质，所以令当i>m时c[i]=0，即，

其中n是时间序列x(t)的长度。

②构建序列r(i)，i=0,1,…,K-1，

r(i)具有对称性质，即r(i)=r(K-i)，k = 1,2, …, K/2。

③使用快速傅里叶变换(FFT)计算序列p(i)，

其中FFT(r)表示计算r(i)序列的傅里叶变换，|·|表示求模。

④使用傅里叶反变换(IFFT)计算序列s(i)，

其中log(·)表示自然对数，IFFT(·)表示计算傅里叶反变换，Re(·)表示取实部。

⑤求U=[u(0), u(1), …, u(m)]序列，

⑥求MA(m)模型系数b(i), i=0,1,2,…,m，

b(i)，b(0)≡1，i=0,1,…,m，是用复倒谱法恢复的最小相位序列，即MA(m)模型的参数。

以上求取MA(m)模型参数的算法基于时间序列的自相关函数，涉及两次FFT运算，速度较快，避免了迭代运算。

使用MA(m)模型计算时间序列功率谱：

参考文献

[1] 成奇明，黄绣坤，张树京. 一种MA参数矩估计新方法[J]. 信号处理，1991年9月，第7卷第3期，第159-162页.
[2] 信号功率谱估计，https://bbs.huaweicloud.com/blogs/360317

软件使用

MA模型参数估计，菜单操作：《分析》→《通用分析》→《MA模型估计》，出现如下对话框，

在对话框中输入合适的MA模型阶数m，回车或者点击 “计算”按钮，可以重新按照新的阶数估计MA模型参数，并计算MA模型估计的功率谱(红色曲线)，并与之对照绘制出用周期图法估计的功率谱(蓝色曲线)。左边的列表框里显示模型参数，可通过点击“保存”按钮将参数保存到指定的文件之中。这里MA模型阶次取值范围是[1,256]之间的整数。