⭐️【引入】路径条数问题：62. 不同路径⭐️

🔐题目详情

62. 不同路径

难度中等

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

💡解题思路

题目的意思是一个机器人从左上角到达右下角的路径数，当然是有限制条件的，条件就是只能向右走或者向下走。

由于本题较为简单，因此将使用本题带你进入动态规划的大门，对于一道问题如果想使用动态规划解决，思考过程如下：

1. 这道题如何使用动态规划，能不能使用动态规划。
2. 如果能够使用动态规划，尝试着定义一个状态。
3. 定义好状态后，尝试去挖掘已知的状态，或者说是确定初始的状态。
4. 确定好初始状态之后，尝试推导状态转移方程。
5. 算法设计完成后，试着分析其时空复杂度。

下面我们以这个步骤来解决这道题。

状态定义: 我们不妨定义 $f[i][j]$表示从左上角到位置 $(i, j)$的路径条数。

确定初始状态： 当 $i=0, j=0$的时候，从原点到达原点的路径数可以认为路径条数为1，即 $f[0][0]=1$。

状态转移方程： 一共可以分为三种情况：

1. $i=0,j>0时$，此时到达位置(i,j)只能是左边的位置(i,j-1)移动而来，即 $f[i][j]=f[i][j-1]$。
2. $i>0,j=0时$，此时到达位置(i,j)只能是上面的位置(i-1,j)移动而来，即 $f[i][j]=f[i-1][j]$。
3. $i>0, j>0时$，此时到达位置(i,j)，可以是上面的位置(i-1,j)移动而来，也可以是左边的位置(i, j-1)移动而来，所以 $f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]$。

最终 $f[n-1][m-1]$即就是从原点到达右下角的路径条数。

🔑源代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        //状态定义 f[i][j]为起点到(i,j)位置的路径总数
        int[][] f = new int[n][m];
        //初始状态 f[0][0] = 1
        f[0][0] = 1;
        //状态转移
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (i == 0 && j > 0) f[i][j] = f[i][j - 1];
                else if (j == 0 && i > 0) f[i][j] = f[i - 1][j];
                else if (i > 0 && j > 0) f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        return f[n - 1][m - 1];
    }
}

$时间复杂度：O(m*n)$
$空间复杂度：O(m*n)$

🌱总结

如何确定该题可以使用动态规划？
因为到达位置(i,j)的路径数根据题目只能向下或向右走，可以依赖(i-1,j)和(i,j-1)位置进行推导。
如何确定本题的状态定义的？
更多的成分就是猜或者感觉吧，根据上面所说，一个状态依赖前面的状态，可以尝试定义状态 $f[i][j]$为到达(i,j)位置的路径条数。
对状态转移的要求是什么？
不重复也不漏掉状态，如果对某个状态重复计算或者缺少某个状态的值的更新，那么得到的结果一定是错误的，需要检查状态转移过程是否正确或者状态定义是否可行。
如何分析动态规划的时空复杂度的？
时间复杂度就是更新状态的次数，有多少个状态更新，时间复杂度就是多少，空间复杂度就是你申请动态规划数组的大小。

⭐️【路上有障碍物】63. 不同路径 II⭐️

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63. 不同路径 II

难度中等

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

💡解题思路

这道题想对于上一道题的区别就是路上可能存在障碍物，对于统计的路径条数不能存在障碍物，其实很简单，就是当位置(i,j)没有障碍物的时候，与上一道题一样，位置(i,j)存在障碍物的时候，表示此路不通，将到达(i,j)位置的路径条数为 $0$。

据以上分析，我们可以在上一道题的基础之上给出状态定义以及推导的过程：

状态定义: 我们不妨定义 $f[i][j]$表示从左上角到位置 $(i, j)$的路径条数。

确定初始状态： 当 $i=0, j=0$的时候，从原点到达原点的路径数可以认为路径条数为1，即 $f[i][j]=1$，如果原点就存在障碍物，路径条数为0，即 $f[0][0]=0$。

状态转移方程： 一共可以分为四种情况：

1. 没有遇到障碍物， $i=0,j>0时$，此时到达位置(i,j)只能是左边的位置(i,j-1)移动而来，即 $f[i][j]=f[i][j-1]$。
2. 没有遇到障碍物， $i>0,j=0时$，此时到达位置(i,j)只能是上面的位置(i-1,j)移动而来，即 $f[i][j]=f[i-1][j]$。
3. 没有遇到障碍物， $i>0, j>0时$，此时到达位置(i,j)，可以是上面的位置(i-1,j)移动而来，也可以是左边的位置(i, j-1)移动而来，所以 $f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]$。
4. 遇到障碍物， $f[i][j]=0$。

最终 $f[n-1][m-1]$即就是从原点到达右下角的路径条数。

🔑源代码

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        //状态定义 f[i][j]表示到位置(i, j)的路径数
        int n = obstacleGrid.length;
        int m = obstacleGrid[0].length;
        int[][] f = new int[n][m];
        //初始状态 ob...[0][0] == 1 f[0][0] = 0 否则1
        f[0][0] = obstacleGrid[0][0] == 1 ? 0 : 1;

        //状态转移 ob...[i][j] == 1 f[i][j] = 0
        //其他 i > 0 j > 0 f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1]
        //i == 0 j > 0 f[i][j] = f[i][j - 1]
        //j == 0 i > 0 f[i][j] = f[i - 1][j]
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] != 1) {
                    if (i > 0 && j > 0) f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
                    else if (i == 0 && j > 0) f[i][j] = f[i][j - 1];
                    else if (j == 0 && i > 0) f[i][j] = f[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return f[n - 1][m - 1];
    }
}

$时间复杂度：O(m*n)$
$空间复杂度：O(m*n)$

🌱总结

本题相当于上一题，就是存在不可达的路径，遇到障碍物的路径就是不可达路径，我们只需考虑遇到障碍物时就将状态转移的路径条数设置为 $0$即可。