汉诺塔详解（递归+ 非递归版）

汉诺塔

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题目描述 Description

汉诺塔问题（又称为河内塔问题），是一个大家熟知的问题。在A，B，C三根柱子上，

有n个不同大小的圆盘（假设半径分别为1-n吧），一开始他们都叠在我A上（如图所示），

你的目标是在最少的合法移动步数内将所有盘子从A塔移动到C塔。

游戏中的每一步规则如下：

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1. 每一步只允许移动一个盘子（从一根柱子最上方到另一个柱子的最上方）

2. 移动的过程中，你必须保证大的盘子不能在小的盘子上方

（小的可以放在大的上面，最大盘子下面不能有任何其他大小的盘子）

如对于n=3的情况，一个合法的移动序列式：

1 from A to C

2 from A to B

1 from C to B

3 from A to C

1 from B to A

2 from B to C

1 from A to C

给出一个数n，求出最少步数的移动序列

输入描述 Input Description

一个整数n

输出描述 Output Description

第一行一个整数k，代表是最少的移动步数。

接下来k行，每行一句话，N from X to Y，表示把N号盘从X柱移动到Y柱。X,Y属于{A,B,C}

样例输入 Sample Input

3

样例输出 Sample Output

7

1 from A to C

2 from A to B

1 from C to B

3 from A to C

1 from B to A

2 from B to C

1 from A to C

数据范围及提示 Data Size & Hint

n<=10

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递归思路分析：

我们设定三个柱子A,B,C。我们的目的是将环从A–>C。（A为起始位置，C为目标位置）

当N=1即一阶时它的路径很简单只需要从A->C进行移动。

当N=2时我们需要进行三步：

1.小盘 A->B

(假想没有大盘只有小盘，与N=1 的步骤一样，只是目标位置变为了 B)

2.大盘 A->C

(大盘上面的小盘到B去了，与N=1 的步骤一样直接到C )

3.小盘 B->C

(大盘到了C,对于小盘而言,C可以看作无盘，与N=1 的步骤一样，只是起始位置变为 B )

(分解一下，小盘从A通过B作为中间目标再到C。可以这样想

小盘下面的大盘目标是C 所以小盘第一次目标则变成B,

等到大盘到了目标C ,小盘再到C。

则完成将大小盘按小盘在上大盘在下的要求移到C。）

当N=3时我们需要进行七步：

1. 小盘 A->C  2.中盘 A->B  3.小盘  C->B

(假想没有大盘只有小盘和中盘，与N=2 的步骤一样，只是目标位置变为了 B)

4. 大盘 A->C,

(大盘上面的小盘和中盘都到B去了，与N=1 的步骤一样直接到C )

5. 小盘 B->A  6.中盘 B->C  7.小盘  A->C

(大盘到了C,对于小盘和中盘而言,C可以看作无盘，与N=2 的步骤一样，只是起始位置变为了 B )

(分解一下，大盘想从A去C。但上面压着小盘与中盘 ，

所以得先把他们移开 并且上面两盘不能移动到C,得移动到B 去

就相当于N=2时，起始位置A到目标位置B。待大盘移动到C。

当前在B 的小盘和中盘，完全就是执行N=2 的步骤。从当前起始位置B 到目标位置C.)

如此执行，通过递归方式。代码思路如下：

1. 对于执行最大盘（n） 到C的操作之前，肯定是?把次大盘（n-1）从A移动到 B
           2. 执行最大盘（n） 到C的操作
           3.对于执行最大盘（n） 到C的操作之后，肯定是?把次大盘（n-1）从B移动到C

每次只关心上一层，上上层是到了上一层才考虑的事------递归\

题目链接：http://codevs.cn/problem/3145/

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#include <stdio.h>
void han(int n, char A, char B, char C){
    if(n == 1)printf("%d from %c to %c\n", n, A, C);
    else{
	//第一步  对于执行最大盘（n） 到C的操作之前
    han(n-1, A, C, B);
	//第二步  执行最大盘（n） 到C的操作 
    printf("%d from %c to %c\n", n, A, C);
	//第三步  对于执行最大盘（n） 到C的操作之后 
    han(n-1, B, A, C); 
   }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", (1 << n) - 1);
    han(n, 'A', 'B', 'C');
    return 0;
}

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非递归 思路：

我们先找找规律：

当3个盘的时候：

1	1:A–>C
2	2:A–>B
3	1:C–>B
4	3:A–>C
5	1:B–>A
6	2:B–>C
7	1:A–>C

4个的时候：

1	1:A–>B
2	2:A–>C
3	1:B–>C
4	3:A–>B
5	1:C–>A
6	2:C–>B
7	1:A–>B
8	4:A–>C
9	1:B–>C
10	2:B–>A
11	1:C–>A
12	3:B–>C
13	1:A–>B
14	2:A–>C
15	1:B–>C

仔细研究研究就能发现，1号出现在·1，3，5，7，9步

2号出现在2，6，10，14 步

3号出现在4，12 步

4号在8，步

规律与2^n有关。

我们在研究研究，三个时：

一号盘的行动方式是：

A–>C

C–>B

B–>A

A–>C

二号盘的行动方式是：

A–>B

B–>C

三号盘的行动方式是：

A–>C

四个时：

一号盘的行动方式是：

A–>B

B–>C

C–>A

A–>B

B–>C

C–>A

A–>B

B–>C

（成一定的周期T=3,当l号盘同最大盘n奇偶性相同，则 执行周期为顺时针，A–>B，B–>C，C–>A

否者则 执行周期为逆时针，A–>C，C–>B，B–>A ）

二号盘的行动方式是：

A–>C

C–>B

B–>A

A–>C

三号盘的行动方式是：

A–>B

B–>C

四号盘的行动方式是：

A–>C

总结下：
A号柱有n 个盘子,叫做源柱.移往C 号柱,叫做目的柱.B 号柱叫做中间柱.
全部移往C 号柱要f(n) =（2^n）- 1 次.
最大盘n 号盘在整个移动过程中只移动一次,n-1 号移动2 次,i 号盘移动
2^(n-i)次.
1 号盘移动次数最多,每2 次移动一次.
第2k+1 次移动的是1 号盘,且是第k+1 次移动1 号盘.
第4k+2 次移动的是2 号盘,且是第k+1 次移动2 号盘.

第(2^s)k+2^(s-1)次移动的是s 号盘,这时s 号盘已被移动了k+1 次.
每2^s 次就有一次是移动s 号盘.
第一次移动s 号盘是在第2^(s-1)次.
第二次移动s 号盘是在第2^s+2^(s-1)次.
第k+1 次移动s 号盘是在第k*2^s+2^(s-1)次.

A–>B，B–>C，C–>A叫做顺时针方向,A–>C，C–>B，B–>A叫做逆时针方向.
最大盘n 号盘只移动一次:A–>C它是逆时针移动.
n-1 移动2 次:A–>B，B–>C,是顺时针移动.

代码实现：

枚举 1, 2, 3, 4·····i,  i+1, i+2, ·····步。

先 获取 第i步移动的几号盘，根据 (2^s)k+2^(s-1)=i,转化一下，满足  i%(2^s) =2^(s-1)  ，令t=2^s;则有i%t=t/2

再 获得第S盘 第几次移动 ，根据  (2^s)k+2^(s-1)=i,  k=i/(2^s) ,即 k=i/t;

最后 根据周期T 与奇偶性 确定具体移动的步骤（共6六种）

代码：

#include<stdio.h>
int main(){
long long i, res,t,k;int n,s;
scanf("%d", &n);
res=(1<<n)-1; 
 printf("%lld\n",res);
	 for( i=1; i <=res; i++ ){ 
	    for( t=2,s=1; s<= n; s++,t*=2)if( i%t == t/2 ) break;//i%t=t/2 找 第i步移动的S号盘
	      k = i/t;//获得第S盘 第几次移动 
			if( n%2 == s%2 ){// 逆时针
					if( (k+1)%3 == 0 ) printf("%d from B to A\n",s);
					if( (k+1)%3 == 1 ) printf("%d from A to C\n",s);
					if( (k+1)%3 == 2 ) printf("%d from C to B\n",s);
			}
			else{// 逆时针
					if( (k+1)%3 == 0 ) printf("%d from C to A\n",s);
					if( (k+1)%3 == 1 ) printf("%d from A to B\n",s);
					if( (k+1)%3 == 2 ) printf("%d from B to C\n",s);
	        }
	 }
 return 0;
}