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前言

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非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
 
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，获得过国家奖学金，有幸在竞赛中拿过一些国奖、省奖…已保研。
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
 
唯有努力💪
 

知其然 知其所以然！

 
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题目1

取整函数 $\left \lfloor x \right \rfloor，\left \lceil x \right \rceil$满足 $x-1 < \left \lfloor x \right \rfloor\leq x \leq\left \lceil x \right \rceil<x+1$，设 $a,b,n$为正整数，证明如下

（1） $\left \lceil \frac{n}{a} \right \rceil\leq\frac{n}{a}+\frac{a-1}{a}$

（2） $\left \lceil \frac{\left \lceil \frac{n}{a} \right \rceil}{b} \right \rceil=\left \lceil \frac{n}{ab} \right \rceil$

（3） $\left \lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor + \left \lceil \frac{n}{2} \right\rceil=n$

证明：

$\frac{n}{2}-1 < \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\leq \frac{n}{2}$

同时加上 $\frac{n}{2}$

$\frac{n}{2}-1+\frac{n}{2} < \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \frac{n}{2}\leq \frac{n}{2}+\frac{n}{2}$

即

$n-1 < \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \frac{n}{2}\leq n$

因为 $n$是正整数

$\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$也一定是一个正整数

若 $\frac{n}{2}$不是整数，则一定有

$n-1 < \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \frac{n}{2}< n$

若 $\frac{n}{2}$是整数，则一定有

$n-1 < \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \frac{n}{2}<= n \Rightarrow \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \frac{n}{2}=n$

所以

$\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \frac{n}{2}$的上限就是 $n$

综上，下面等式成立

$n-1 < \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor + \left \lceil \frac{n}{2} \right\rceil<= n$

即

$\left \lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor + \left \lceil \frac{n}{2} \right\rceil=n$

（4） $\left \lfloor n+1 \right \rfloor=\left \lfloor n \right \rfloor+1$

题目2

参考资料

结语

文章仅作为个人学习笔记记录，记录从0到1的一个过程

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