一、二分查找概述

二分查找是一种相比于逐个查找，性能更加优秀，时间复杂度更低的一种算法。
二分查找的思路是，对一个顺序的集合，确定查找区间的左右边界，再根据左右边界，计算出中间的值，再和中间值进行比较，如果左边界大于中间值，左边界向右移动到中间值+1的位置，反之右边界移动的中间值左边的位置。
事例

示例一：

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

首先左边界left是0，右边界right是5，
mid中间值计算公式是：
**（right-left) / 2 + left **= (5-0)/2 + 0 = 2.5,向下取整为2。
这里要注意，一般二分查找中，mid中间下标计算结果是小数，都是向下取整。
nums[2] = 3;
3 小于 target 9,可以判断目标值在右区间。
left = mid + 1;
left改变后重新计算下标，计算中间下标值是：
(5-3)/2 +3 = 4；此时nums[4] = 9;
找到目标值。
代码如下

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int l = 0;
        int r = nums.length-1;

        while (l<=r){
            int m = (r-l)+l;
            if (nums[m]==target){
                return m;
            }else if (target<nums[m]){
                r = m-1;
            }else {
                l = m+1;
            }
            
        }
        return -1;
    }
}

二、分查找解决算法问题

二分查找并不是只是简简单单的去判断一个数组中，是否存在目标值，它是一种解决问题的思想。二分查找能衍生出一些算法问题。接下来由如下三个模板，去了解如何用二分查找去解决问题。

2.1 模板I（标准模板）

int binarySearch(int[] nums, int target){
  if(nums == null || nums.length == 0)
    return -1;

  int left = 0, right = nums.length - 1;
  while(left <= right){
    // Prevent (left + right) overflow
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if(nums[mid] == target){ return mid; }
    else if(nums[mid] < target) { left = mid + 1; }
    else { right = mid - 1; }
  }

  // End Condition: left > right
  return -1;
}

模板1是二分查找的最基础和最基本的形式。这是一个标准的二分查找模板，大多数高中或大学会在他们第一次教学生计算机科学时使用。模板 1 用于查找可以通过访问数组中的单个索引来确定的元素或条件。
在这个模板中，left和right会不断靠近，最后一次遍历的时候，两个值left和right会相等。

x 的平方根

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：
输入：x = 4
输出：2

思路
在从1到x中寻找x的平方根，
如果mid的平方大于x，那么right = mid - 1 同理，反之就是left = mid + 1
代码：

public int mySqrt(int x) {
        if (x==0){return 0;}
        if (x==1){return 1;}
        int l = 0;
        int r = x;
        while(l<=r){
            int m = (r-l)/2+l;
            if (x/m==m){
                return m;
            }else if(x/m<m){  // 16 / 8 < 8
                r = m-1;

            }else if(x/m>m){
                l = m + 1;
            }

        }
        return r;

    }

2.2 二分查找模板 II

分查找的高级模板。它用于查找需要访问数组中当前索引及其直接右邻居索引的元素或条件。

int binarySearch(int[] nums, int target){
  if(nums == null || nums.length == 0)
    return -1;

  int left = 0, right = nums.length;
  while(left < right){
    // Prevent (left + right) overflow
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if(nums[mid] == target){ return mid; }
    else if(nums[mid] < target) { left = mid + 1; }
    else { right = mid; }
  }

  // Post-processing:
  // End Condition: left == right
  if(left != nums.length && nums[left] == target) return left;
  return -1;
}

关键属性

• 一种实现二分查找的高级方法。
• 查找条件需要访问元素的直接右邻居。
• 使用元素的右邻居来确定是否满足条件，并决定是向左还是向右。
• 保证查找空间在每一步中至少有 2 个元素。
• 需要进行后处理。 当你剩下 1 个元素时，循环 / 递归结束。 需要评估剩余元素是否符合条件。

2.3 二分查找模板 III

模板 3 是二分查找的另一种独特形式。 它用于搜索需要访问当前索引及其在数组中的直接左右邻居索引的元素或条件。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
  if (nums == null || nums.length == 0)
      return -1;

  int left = 0, right = nums.length - 1;
  while (left + 1 < right){
      // Prevent (left + right) overflow
      int mid = left + (right - left) / 2;
      if (nums[mid] == target) {
          return mid;
      } else if (nums[mid] < target) {
          left = mid;
      } else {
          right = mid;
      }
  }

  // Post-processing:
  // End Condition: left + 1 == right
  if(nums[left] == target) return left;
  if(nums[right] == target) return right;
  return -1;
}