101道算法JavaScript描述【二叉树】9
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零钱兑换
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
示例1
输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例2
输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
解法一 动态规划法
思路
-
由于需要找到最少的硬币，所以需要列举出所有可能的结果（如题）
-
要凑够 amount 元硬币，可以从最 i -> amount 之前进行枚举 (counter) (下列出 最少次数)
amount = 1； counter[1] = 1 coins[1] = 1
amount = 2； counter[2] = 1 coins[2] = 2
amount = 3； counter[3] = 2 coins[1] + coins[2]
amount = 4； counter[4] = 2 coins[2] + coins[2]
amount = 5； counter[5] = 3 coins[2] + coins[2] + coins[1]
amount = 6； counter[6] = 3 coins[2] + coins[2] + coins[2]
amount = 7； counter[7] = 2 coins[5] + coins[2]
amount = 8； counter[8] = 3 coins[5] + coins[2] + coins[1]
amount = 9； counter[9] = 3 coins[5] + coins[2] + coins[2]
amount = 10； counter[10] = 2 coins[5] + coins[5]
amount = 11； counter[11] = 1 coins[5] + coins[5] + coins[1]
-
递增 i 并且记录下 能组合成 i 的 硬币数量 counter[i]
-
遍历 coins 数组，从 counter 中找到对应剩余金额（i - coins[j]）的最小次数 + 1
详解
- 需要计算出每一步的最佳次数，因此可以将每一步的次数保存在 counter 数组中
- counter中每一项的最大值应该是 amount / 1 次，此处默认填充 (amount / 1) + 1 次
- 遍历amoount 数组 依次递增，在 coins 数组中找到满足 i 的最少硬币数，保存在 counter 中
- 若 counter[i] 已经保存有最少的值，比较此次计算的最小次数，取两者较小
- 重复 3，4 步骤 直到 amount 遍历结束
const coinChange = (coins, amount) => {
const counter = Array(amount + 1);
counter.fill(amount + 1);
counter[0] = 0;
for (let i = 1; i <= amount; i ++) {
for (let j = 0; j < coins.length; j ++) {
if (i - coins[j] >= 0) {
// i - coins[j] 能凑成 i 的上一步的 最小硬币数量
counter[i] = Math.min(counter[i], counter[i - coins[j]] + 1);
}
}
}
// 最坏结果应该是 counter[amount] = amount
return counter[amount] > amount ? -1 : counter[amount];
}
复杂度分析
-
时间复杂度：O(Sn)O(Sn)
时间复杂度是 O(Sn)O(Sn)，S是
amount大小,需要迭代Sn次 -
空间复杂度：O(S)O(S)
每次迭代时没有增加新的资源，O(1)O(1)
解法二 递归
思路
由于要获取最小奖金币次数，实质上就是能拿到的满足 amount 的面值尽可能大的银币的个数。例如：
coins = [11, 12, 5, 3] amount = 121;
则次数刚好是 121 / 11 = 11，其他的取法均大于 11 次。
若 amount = 124 则有次数 (121 / 11) + (3 / 3) = 12次
另外，在考虑最多次数时，应当满足有 amount / 1 = amount 次。
详解
- amount 是总金额，要用最少的硬币数，应当是从最大的硬币开始拿起
- 大的硬币可以多次拿取，就有 amount % coins[i] === 0 成立
- 可以保存一个最少硬币数 mincounter 的状态，按coins数组最大的开始，依次向最小的硬币循环
- 按照可以使用的最大硬币次数作为循环起始条件，依次减1直至为0，递归调用
- 当剩余 amount / coins[n] > 当前次数 + mincounter 则直接退出循环
- 当amount为0时，即可得到最优结果
const coinChange = (coins, amount) => {
// 假设 最少次数 最多不会超过 amount 次
let minCount = amount + 1;
let coinsTemp = coins.sort((a, b) => b - a);
// 防止有超过 amount 面值的硬币出现
const maxValueIndex = coinsTemp.findIndex(v => v <= amount);
// 已经计算的次数，剩余的金额，coins，当前硬币位置
const calculateCountes = (count, amount, coins, index) => {
if (amount === 0) {
if (count < minCount) {
// 每次递归的所有可能结果进行保存
minCount = count;
}
return;
}
let maxCountatIndex = parseInt((amount / coins[index]), 10);
// 执行到超出数组边界 或者 预计最小次数大于已有 minCount 时 直接退出递归
if((index === coins.length) || maxCountatIndex + count >= minCount) {
return;
}
// amount 最少是 amount / coins[index] 次 coins[index] 的 和
for (let j = maxCountatIndex; j >= 0 ; j --) {
// 累计次数，剩余amount，银币数组，到达的coins数组下标
calculateCountes(count + j, amount - (coins[index] * j), coins, index + 1 );
}
}
calculateCountes(0, amount, coinsTemp, maxValueIndex);
return minCount === amount + 1 ? -1 : minCount;
}
复杂度分析
-
时间复杂度：O(Sn)O(Sn)
-
空间复杂度：O(n)O(n)
nn 为递归调用的最大深度，即需要 O(n)O(n) 空间的递归堆栈。
跳跃游戏
给定一个非负整数数组，你最初位于数组的第一个位置。
数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
判断你是否能够到达最后一个位置。
示例1:
输入: [2,3,1,1,4] 输出: true 解释: 我们可以先跳 1 步，从位置 0 到达 位置 1, 然后再从位置 1 跳 3 步到达最后一个位置。
示例2:
输入: [3,2,1,0,4] 输出: false 解释: 无论怎样，你总会到达索引为 3 的位置。但该位置的最大跳跃长度是 0 ， 所以你永远不可能到达最后一个位置。
方法一 贪心算法
思路
贪心算法的思路就是每到一个位置，都跳跃到当前位置可以跳跃的最大距离。当最后跳跃的最远距离等于或大于最后一个位置的时候，我们就认为可以到达最后一个位置，返回true
详解
- 首先我们初始化最远位置为0，然后遍历数组；
- 如果当前位置能到达，并且当前位置+跳数>最远位置，就更新最远位置；
- 每次都去比较当前最远位置和当前数组下标，如果最远距离小于等于当前下标就返回false。
const canJump = function (nums) {
let max = 0; // 跳到最远的距离
for (let i = 0; i < nums.length - 1; i += 1) {
// 找到能跳的最远的的距离
if (i + nums[i] > max) {
max = i + nums[i];
}
// 如果跳的最远的小于当前脚标，返回false
if (max <= i) {
return false;
}
}
return true;
};
复杂度分析
-
时间复杂度：O(n)O(n)
只需要访问 nums 数组一遍，共 nn 个位置，nn 是 numsnums 数组的长度。
-
空间复杂度：O(1)O(1)
在 max 变量分配内存情况下，内存不会随着遍历有增长趋势，不需要额外的空间开销。
方法二 动态规划
思路
我们遍历数组，每到一个点 i，我们就去判断是否可以到达当前点；如果可以，就记录 true，否则为false，最后判断 是否可以到达(nums.length - 1)；
详解
- 遍历数组 nums，每到一个点 i，我们就判断时刻可以到达当前点；
- 如果 i 之前某点 j 本身是可以到达的，并且与当前点可达，表示点 i 是可达的；
- 我们遍完成后，直接判断(nums.length - 1)是否可以达到。
const canJump = function (nums) {
// 定义一个数组，用来记录nums的点是否是可以达到的
const list = [nums.length];
// 遍历nums
for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
// 遍历list
for (let j = 0; j < i; j++) {
// 如果j点是可以到达的，并且j点是可以达到i点的
// 则表示i点也是可以达到的
if (list[j] && nums[j] + j >= i) {
list[i] = true;
// 如果i点可以达到，则跳出当前循环
break;
}
}
}
return list[nums.length - 1];
};
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n^2)O(n2) 对于每个元素，通过两次遍历数组的其余部分来寻找它所对应的目标元素，这将耗费 O(n^2)O(n2) 的时间
- 空间复杂度：O(n)O(n) 对于每次循环都需要给 j 重新分配空间，所以空间复杂度 O(n)O(n)
方法三 回溯
思路
我们模拟从第一个位置跳到最后位置的所有方案。从第一个位置开始，模拟所有可以跳到的位置，然后判断当前点是否可以到达(nums.length - 1);当没有办法继续跳的时候，就回溯。
详解
- 我们每次传入一个下标 p，并且判断 p 是否可以达到最后的下标；
- 如果传入的 p 等于(nums.length - 1),则表示可以到达，如果不行，则继续循环判断；
- 如果存在 p 等于 (nums.length - 1)，则返回
true，不存在则返回false。
const canJump = function (nums) {
return checkJumpPosition(0, nums); ;
};
function checkJumpPosition (p, nums = []) {
// 定义p点可以到达的最远距离
let jump = p + nums[p];
// 如果p点可以到达nums.length - 1，则返回true
if (p === nums.length - 1) {
return true;
}
// 如果最远距离大于(nums.length - 1),我们就将(nums.length - 1),设为最远距离
if (p + nums[p] > nums.length - 1) {
jump = nums.length - 1;
}
// 我们从p + 1开始到最远距离中间，找到(nums.length - 1)
// 如果可以，则返回true，找不到则返回false
for (let i = p + 1; i <= jump; i += 1) {
if (checkJumpPosition(i, nums)) {
return true;
}
}
return false;
}
复杂度分析
- 时间复杂度：O(2^n)O(2n) 因为从第一个位置到最后一个位置的跳跃方式最多有 2^n 种，所以最多的耗时是 O(2^n)O(2n)
- 空间复杂度：O(n)O(n) 对于每次循环都需要给 ii 重新分配空间，最大的长度是
nums.length，所以空间复杂度 O(n)O(n)
不同路径、Longest Increasing Subsequence和单词拆分
不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角，机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角，问总共有多少条不同的路径？
示例 1
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
思路
A B C D
E F G H
从点 (x = 0,y = 0)(x=0,y=0) 出发，每次只能向下或者向右移动一步，因此下一点的坐标为(x + 1, y)(x+1,y) 或者(x, y + 1)(x,y+1)，一直到(x = m, y = n)(x=m,y=n)。在上图中，H 只能从 G 或者 D 达到，因此从 A 到 H 的路径数等于从 A 到 D 的路径与从 A 到 G 的路径之和。得出路径数量 T(m, n) = T(m-1, n) + T(m, n-1)T(m,n)=T(m−1,n)+T(m,n−1)。
我们又发现，当 或 时（只能一直往下或往右走），路径数量为1，这里得出跳出递归的条件。
方法一 递归
详解
由上面的分析可得，到达 (m, n)(m,n)的路径数量为 (m, n-1)(m,n−1)坐标的路径数量与 (m-1, n)(m−1,n)坐标的路径数量之和 。可以使用最简单粗暴的递归方法
代码
/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
const uniquePaths = function (m, n) {
if (m === 1 || n === 1) {
return 1;
}
return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);
};
方法二 动态规划
详解
根据以上思路，可以推出状态转移方程为
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 |
代码
/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
const uniquePaths = function (m, n) {
const dp = new Array(m);
for (let i = 0; i < m; i++) {
dp[i] = new Array(n);
}
for (let i = 0; i < m; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
if (i === 0 || j === 0) {
dp[i][j] = 1;
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
};
复杂度分析
- 时间复杂度： O(m * n)O(m∗n)
上述解法中，对 mm 和 nn 进行了双重循环，时间复杂度跟数字的个数线性相关，即为 O(m*n)O(m∗n)
- 空间复杂度： O(m * n)O(m∗n)
申请了大小为 m * nm∗n的二维数组
方法三 动态规划优化
减少空间复杂度
详解
我们观察表格发现，下一个值等于当前值加上一行的值，利用这个发现，可以来压缩空间，用一维数组来实现
const uniquePaths = function (m, n) {
const dp = new Array(n).fill(1);
for (let i = 1; i < m; i++) {
for (let j = 1; j < n; j++) {
dp[j] = dp[j - 1] + dp[j];
}
}
return dp[n - 1];
};
复杂度分析
- 时间复杂度： O(m * n)O(m∗n)
- 空间复杂度：O(n)O(n)
方法四 排列组合
详解
其实这是个高中数学问题。因为机器人只能向右或者向下移动，那么不论有多少中路径，向右和向下走的步数都是一样的。当 m = 3，n = 2 m=3，n=2 时，机器人向下走了一步，向右走了两步即可到达终点。所以我们可以得到
路径 = 从右边开始走的路径总数 + 从下边开始走的路径总数，转化为排列组合问题
不包括起点和终点，共移动 N = m + n - 2N=m+n−2，向右移动K = m - 1K=m−1，将 NN 和 KK 代入上述公式，可得
因此得出答案 C_{m + n -2}^{m - 1}Cm+n−2m−1
/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
const uniquePaths = function (m, n) {
const N = m + n - 2;
const K = n - 1;
let num = 1;
for (let i = 1; i <= K; i++) {
num = num * (N - K + i) / i;
}
return num;
};
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)O(n)
- 空间复杂度：O(1)O(1)
Longest Increasing Subsequence
给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。
示例
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
方法一 动态规划
思路
- 状态定义：res[i] 表示以 nums[i] 为当前最长递增子序列尾元素的长度
- 转移方程：通过方程 res[i] = Math.max(res[i], nums[i] > nums[j] ? res[j] + 1 : 1)，动态计算出各上升子序列的长度。
- 倒序取值：res 数组进行倒序，第一个即为最大长度的值。
详解
-
如果给定数组长度小于等于 1，则最长上升子序列的长度等于数组长度。
-
初始化一个长度等于给定数组的长度，且元素都为 1 的数组 res。
-
当 nums[i] > nums[j] 时，nums[i] 可以作为前一个最长的递增子序列 res[j] 新的尾元素，而组成新的相对于 res[i] 能够拼接的更长的递增子序列 res[i] = res[j] + 1，因为新的 res[i] 能够拼接的最长长度取决于 nums[i] 这个新的尾元素，而这个 nums[i] 不一定大于 nums[j]，所以也不一定大于 res[j]，那么在 i ~ j 之间，最大的递增子序列为 Max(res[i], res[j]+1)；当 nums[i] <= nums[j]，长度为元素本身，即为 1。所以得出方程 res[i] = Math.max(res[i], nums[i] > nums[j] ? res[j] + 1 : 1)，通过转移方程收集
各上升子序列的长度。
-
通过 sort 函数对 res 倒序排列，第一元素值 res[0] 就是最长的上升子序列长度。
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number}
*/
const lengthOfLIS = function (nums) {
const len = nums.length;
if (len <= 1) {
return len;
}
// 初始化默认全为1
const res = new Array(len).fill(1);
for (let i = 1; i < len; i++) {
for (let j = 0; j < i; j++) {
// 转移方程
res[i] = Math.max(res[i], nums[i] > nums[j] ? res[j] + 1 : 1);
}
}
// 倒序
res.sort((a, b) => b - a);
return res[0];
};
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n^2)O(n2)
- 空间复杂度：O(n)O(n)
方法二 二分查找
思路
-
当前遍历元素大于前一个递增子序列的尾元素时（nums[i] > tail[end]），将当前元素追加到 tail 后面，这里解法其实和方法一中
nums[i] > nums[j] 的解法一样。
-
当 nums[i] <= tail[end] 时，寻找前一个递增子序列第一个大于当前值的元素，替换为当前值，查找用二分，最后左边的元素即为查找到的需要被替换的结果元素。
详解
1、如果给定数组长度小于等于 1，则最长上升子序列的长度等于数组长度。 2、初始化一个长度等于给定数组的长度，且第一个元素值等于给定数组的第一个元素值的数组 tail，tail 用来存储最长递增子序列的元素。 3、循环给定的数组，当前遍历元素大于前一个递增子序列的尾元素时（nums[i] > tail[end]），将当前元素追加到 tail 后面，这里解法 其实和方法一中nums[i] > nums[j] 的解法一样；当 nums[i] <= tail[end] 时，寻找前一个递增子序列第一个大于当前值的元素，替换为当前值，查找用二分，最后左边的元素即为查找到的需要被替换的结果元素。 4、循坏完之后，end + 1 即为最长的上升子序列长度。
/**
* @param {number[]} nums
* @return {number}
*/
const lengthOfLIS = function (nums) {
const len = nums.length;
if (len <= 1) {
return len;
}
const tail = new Array(len);
tail[0] = nums[0];
let end = 0;
for (let i = 1; i < len; i++) {
if (nums[i] > tail[end]) {
end += 1;
tail[end] = nums[i];
} else {
let left = 0;
let right = end;
// 二分查找
while (left < right) {
// 位运算，右移一位
const mid = left + ((right - left) >> 1);
if (tail[mid] < nums[i]) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid;
}
}
tail[left] = nums[i];
}
}
return end + 1;
};
复杂度分析
-
时间复杂度：O(nlogN)O(nlogN)
外层一个数组循环遍历，里面嵌套一个二分查找，所以是 O(nlogN)O(nlogN)
-
空间复杂度：O(n)O(n)
创建的数组 tail 占用空间大小为 n，循环遍历中并没有分配新的空间
单词拆分
示例
给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词列表的字典 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
说明：
- 拆分时可以重复使用字典中的单词。
- 你可以假设字典中没有重复的单词。
- 注意你可以重复使用字典中的单词。
示例 1：
输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。
示例 2：
输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。
示例 3：
输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
输出: false
方法一 暴力破解法
思路
把字符串 s 的前缀从短到长拆出来进行判断是否在单词字典中，若在字典中则把前缀截取掉继续递归，直到字符串的长度为 0。在递归中若遇到字符串任何长度的前缀都无法匹配到字典中的单词，则回溯到上层递归。
详解
1、检查字典中是否有字符串的前缀； 2、若有的话，将字符串去掉这个前缀后继续遍历，重复步骤 1、2； 3、若某次调用发现整个字符串都已拆分并且都在字典内则返回 true；
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-21YkVzx9-1659870334689)(https://3811097299-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M5_VgO7Aapcy5begC-C%2F-M6-I6m57X_LoOQxykgn%2F-M6-IbJwjVrcOtj76ywA%2Fimage.png?alt=media&token=e18dc987-f918-4880-9248-68395d352aea)]
const wordBreak = function (s, wordDict) {
if (s.length === 0) {
return true;
}
for (let i = 0; i < wordDict.length; i += 1) {
const startIndex = s.indexOf(wordDict[i]);
if (startIndex === 0) {
// 将字符串去掉这个匹配到的前缀后继续遍历
const temp = s.slice(startIndex + wordDict[i].length);
if (wordBreak(temp, wordDict) === true) {
return true;
}
}
}
return false;
};
- 时间复杂度：最坏情况下是 O(n^n)O(nn)，因为考虑
s = 'aaaaaaaaaaaaaaaa'， wordDict = ['a']，每一个字符都在字典中，此时递归的时间复杂度会达到 O(n^n) O(nn)，妥妥超时 - 空间复杂度：O(1)O(1)，循环中申请了 3 个临时变量，与输入的字符串的长度无关，空间占用属于常数阶，故空间复杂度为 O(1)O(1)。
方法二 动态规划
思路
dp[i] 表示字符串 s 从开始到 i 位置是否可以由 wordDict 组成。使用 j 从头开始遍历，若 dp[i] 可由 wordDict 组成，并且 i 到 j 之间的单词可以在 wordDict中找到，则说明 dp[i] = true。
详解
1、第一层遍历：用 i 从头到尾遍历字符串； 2、第二层遍历：用 j 从头到 i 遍历字符串； 3、若 dp[j] = true 而且字典中存在字符串 s[i~j]，则说明 dp[i] = true； 4、继续步骤 1、2，直到整个字符串都遍历一遍； 5、若 dp[s.length()] = true，则说明字符可由字段中的单词组合而成；
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CoPFRWQl-1659870334693)(https://3811097299-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-M5_VgO7Aapcy5begC-C%2F-M6-I6m57X_LoOQxykgn%2F-M6-Ie1OD-shJ9PPcnsE%2Fimage.png?alt=media&token=0d6c4555-cbba-48e9-8f4c-30565a75e7a8)]
代码
const wordBreak = function (s, wordDict) {
const len = s.length;
const dp = new Array(len + 1).fill(false);
dp[0] = true;
for (let i = 1; i <= len; i++) {
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (dp[j] && wordDict.includes(s.substring(j, i))) {
dp[i] = true;
break;
}
}
}
return dp[len];
};
复杂度分析
-
时间复杂度：O(n^2)O(n2)
因为有两层循环，每层循环都从头遍历到尾。
-
空间复杂度：O(n)O(n)
因为只开辟了一个 nn长度的数组。
方法三 动态规划（优化版）
思路
第二层遍历中不用每次遍历 i 的长度，只要遍历字典中最长单词的长度 maxStep 即可。
详解
1、第一层遍历：用 i 从头到尾遍历字符串； 2、第二层遍历：用 j 从 i - maxStep 到 i 遍历字符串； 3、若 dp[j] = true 而且字典中存在字符串 s[i~j]，则说明 dp[i] = true； 4、继续步骤 1、2，直到整个字符串都遍历一遍； 5、若 dp[s.length()] = true，则说明字符可由字段中的单词组合而成；
const wordBreak = function (s, wordDict) {
const len = s.length;
const dp = new Array(len + 1).fill(false);
dp[0] = true;
// 计算单词的最长长度
let maxStep = 0;
for (let i = 0; i < wordDict.length; i++) {
if (wordDict[i].length > maxStep) {
maxStep = wordDict[i].length;
}
}
for (let i = 1; i <= len; i++) {
const startOfJ = i - maxStep > 0 ? i - maxStep : 0;
for (let j = startOfJ; j < i; j++) {
if (dp[j] && wordDict.includes(s.substring(j, i))) {
dp[i] = true;
break;
}
}
}
return dp[len];
};
复杂度分析
-
时间复杂度：O(n^2)O(n2)
因为有两层循环，每层循环都从头遍历到尾。
-
空间复杂度：O(n)O(n)
因为最长只开辟了一个 nn 长度的数组。
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