3 关系代数

3.1 基本概念

关系代数语言：一种过程化查询语言，简称==关系代数或关系操作==；它包括一个运算的集合，这些运算以一个或两个关系为输入，产生一个新的关系作为结果。

数据库系统功能完备性：一个数据库产品或数据库系统包含==五个基本操作==。

基本操作：

注：

• 对于其他的操作，都可以由五个基本操作导出
• 选择和投影为==一元运算==，因为它们只对一个关系进行操作；而另外三个对两个关系进行运算，故为==二元运算==。

3.2 五个基本操作

基本操作概念

选择操作：选择操作就是加限制条件选元组。等价于SQL中的where条件。

投影操作：投影就是选取关系中的某些列。等价于SQL中的select。

笛卡尔乘积：两张表所有元组两两匹配的所有结果。

集合并操作：集合中的并。即把数据并在一起，如A表的Sno的数据和B表的Sno数据合并。

集合差操作：集合中的差。即A表数据减去A表中含有与B表数据系统的部分所剩余的结果。

注：

• 投影后的表由于有可能不包含候选键，这就会导致有些元组可能是重复的，这时候系统会自动消除重复元组，所得关系（表）的元组数小于原关系的元组数。如果投影后的表包含候选键，那么元组数和投影前一样。
• 在实际的数据库产品中，数据库投影后他是不会自动去重的，因为数据库他不能保证用户对重复的数据是否有应用价值，所以，除非你要求，不然他不会自动去重。
• 如果两张表需要进行集合并操作，那么其必须满足==并兼容==，否则只能进行外并操作。

并兼容

参与并交差的两个关系的元组必须限制为同类型，也就是相同目，对应的属性的域也需相同。下面的图则不满足并兼容。

3.3其他操作

连接操作

• 连接实际上就是加了条件的笛卡尔乘积。其符号为 $\bowtie$。
• 连接符号 $\bowtie$代表的都是==自然连接==，即笛卡尔乘积加上默认条件外键相等。

更名操作

• ==关系代数表达式==没有可引用名字，为此，更名操作应运而生。
• 更名用希腊字母rho( $\rho$)来表示，对于你指定的关系代数表示式E，表示式 $\rho_x(E)$返回表示式E的结果，并把名字x赋给了它。
• 如果想要返回结果并且为各属性更名，则可以将更名操作表示为 $\rho_{x(A1,A2,...)}(E)$。

注：

• ==由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式==。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。如 $π_{Sno}(σ_{jno = j1}(SPJ))$就是一条关系代数表达式。
• 赋值操作和更名操作功能有所不同，赋值操作只能将关系代数表达式的结果返回到一个变量中，而更名操作可以将结果返回并且修改结果中的属性名。

集合交操作

• 集合中的交。即找出A表和B表数据中公共的部分并返回。
• 集合交用∩所表示。
• 集合交可以由基本操作r-(r-s)来导出。

外连接与内连接

内连接：A表和B表处于平等关系，即普通连接。

外连接：A表和B表处于主从关系，即主表的元组即使匹配不上从表，也会出现在结果中，匹配不上的地方用NULL值填充。通常外连接分为左外连和右外连，左外连左表为主表，右外连同理。

外并操作

如果在不满足并兼容的条件下还要做并操作，则可以使用外并操作强行整合两表。返回的结果是两表属性的总和，其中一方如果没有另外一方的属性则会被填上NULL。

赋值操作

• 赋值操作就是给关系代数表达式一个新名字。
• 使用符号←表示。