【Android UI】贝塞尔曲线 ② ( 二阶贝塞尔曲线公式 | 三阶贝塞尔曲线及公式 | 高阶贝塞尔曲线 )

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韩曙亮 发表于 2022/07/22 23:56:54 2022/07/22
【摘要】 文章目录 一、二阶贝塞尔曲线公式二、三阶贝塞尔曲线三、高阶贝塞尔曲线 贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker ...


贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker





一、二阶贝塞尔曲线公式



请添加图片描述

二阶贝塞尔曲线公式如下 :

B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 , t ∈ [ 0 , 1 ] B(t) = (1- t)^2P_0 + 2t(1-t)P_1 + t^2P_2, t \in [0,1] B(t)=(1t)2P0+2t(1t)P1+t2P2,t[0,1]

P 0 , P 1 , P 2 P_0 , P_1 , P_2 P0,P1,P2 是给定的 平面中的 3 3 3 个点 , P 0 P_0 P0 是 曲线起始点 , P 2 P_2 P2 是 曲线结束点 , P 1 P_1 P1 是控制点 ;

t t t 的取值范围是 0.0 0.0 0.0 ~ 1.0 1.0 1.0 ;





二、三阶贝塞尔曲线



请添加图片描述

上图中 , P 0 P_0 P0 点是起始点 , P 3 P_3 P3 点是终止点 , P 1 P_1 P1 P 2 P_2 P2 点是控制点 ;


三阶贝塞尔曲线公式如下 :

B ( t ) = ( 1 − t ) 3 P 0 + 3 t ( 1 − t ) 2 P 1 + 3 t 2 ( 1 − t ) P 2 + t 3 P 3 , t ∈ [ 0 , 1 ] B(t) = (1- t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1 + 3t^2(1-t)P_2 + t^3P_3, t \in [0,1] B(t)=(1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3,t[0,1]


先根据比例 , 绘制出 P 0 P_0 P0 P 2 P_2 P2 之间的二阶贝塞尔曲线 , 以 P 1 P_1 P1 为控制点 , 绘制出直线 A B AB AB ;

然后 绘制 P 1 P_1 P1 P 3 P_3 P3 之间的二阶贝塞尔曲线 , 以 P 2 P_2 P2 为控制点 , 绘制出直线 B C BC BC ;

最后 计算 A A A C C C 之间的 二阶贝塞尔曲线 , 以 B B B 点作为 控制点 ;

在这里插入图片描述

三阶贝塞尔曲线动态绘制流程 :
请添加图片描述





三、高阶贝塞尔曲线



B ( t ) = ∑ i = 0 n ( n i ) P i ( 1 − t ) n − i t i B(t) = \sum_{i = 0}^{n} \dbinom{n}{i} P_i (1-t)^{n - i}t^i B(t)=i=0n(in)Pi(1t)niti

= ( n 0 ) P 0 ( 1 − t ) n t 0 + ( n 1 ) P 1 ( 1 − t ) n − 1 t 1 + ⋯ = \dbinom{n}{0} P_0 (1-t)^{n}t^0 + \dbinom{n}{1} P_1 (1-t)^{n - 1}t^1 + \cdots =(0n)P0(1t)nt0+(1n)P1(1t)n1t1+

+ ( n n − 1 ) P n − 1 ( 1 − t ) 1 t n − 1 + ( n n ) P n ( 1 − t ) 0 t n , t ∈ [ 0 , 1 ] + \dbinom{n}{n-1} P_{n-1} (1-t)^{1}t^{n -1} + \dbinom{n}{n} P_n (1-t)^{0}t^n , t \in [0,1] +(n1n)Pn1(1t)1tn1+(nn)Pn(1t)0tn,t[0,1]

上述公式中 i i i 是贝塞尔曲线的阶数 ;


四阶贝塞尔曲线 :

请添加图片描述


五阶贝塞尔曲线 :

请添加图片描述


文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net,作者:韩曙亮,版权归原作者所有,如需转载,请联系作者。

原文链接:hanshuliang.blog.csdn.net/article/details/125915230

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