动态规划

简介

动态规划是一种实用的技巧，它可以用来解决一系列特定问题。它的思路很简单，如果你对某个给定的输入解决了一个问题，那么你可以保存已有信息，以避免重复计算，节约计算时间。

解决问题的方式

1. 自顶向下 : 利用分支策略分解问题。如果你已经解决过当前子问题了，那么就返回已有信息。如果当前子问题没有计算过，那么就对它进行计算。这样的方法很易于思考、很直观。这被称作“记忆化”。

2. 自底向上 : 首先分析问题，将问题分解为不同规模的问题，并决定它们的顺序，按顺序计算，直到解决给定规模的问题。这样的流程可以保证在解决较大的问题之前解决（它所依赖的）较小的问题。这种流程被称作“动态规划”。

动态规划的例子

最长上升子序列问题。给定S= {a[1] , a[2] , a[3], a[4], ............., a[n-1], a[n] }，求出一个子序列，使得对于所有在这个子序列中所有满足j<i的j与i，满足aj<ai。首先我们要讨论以原序列的第i个元素结尾的最长上升子序列dp[i]。那么答案是整个dp序列的最大值。考虑dp[i]，它的最后一个元素为a[i]。枚举它的倒数第二个元素a[j]，则a[j]<a[i]成立。则dp[i]就是所有这样的dp[j]的最大值加上1(最后一个元素)。这个算法具有O(n^2)的时间复杂度。

此算法的伪代码：

for i=0 to n-1
    dp[i]=0
    for j=0 to i-1
        if (a[i] >  a[j] and dp[i]<dp[j])
            LS[i] = LS[j]
    dp[i]=dp[i]+1
for i=0 to n-1
    if (largest < dp[i])
        largest = dp[i]

这个算法的复杂度可以通过将数组换为其他数据结构来优化，来获得O(n * log n)的时间复杂度。

同样的思路可以求出有向无环图上的最大路径。