简 介： 本文对于系统函数中极点的阶次增加，对于系统单位重新及相应的波形的影响进行的分析。帮助同学理解极点位置对系统时域特性（稳定性）的影响。

关键词： 信号与系统，极点，阶次

§01 高阶极点

一、答疑中提到的问题

  今天（2022-06-10）上午在信号与系统课程答疑中， 有同学提到系统函数中高阶极点对应的系统单位冲激响应的影响。 通常情况下， 系统函数极点决定了对应冲激响应波形特征， 比如指数增加还是减少， 振荡快慢等参数。 那么极点的阶次，对于时域波形有什么影响吗？

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二、极点阶次对于时域波形的影响

  下面从几个典型位置的极点阶次对时域波形的影响谈起。

1、原点处的高阶极点

  对于原点处的极点。  如果是一阶极点，对应的单位阶跃信号。 如果极点的阶次增加， 则对应的是t的乘幂形式。  这是原点处极点阶次与时域信号之间的关系式。 由此可以知道，在原点处的高阶极点带来了信号呈现多项式增加的趋势。

2、虚轴上的高阶极点

  如果极点位于虚轴上， 那么随着极点阶次的增加， 时域波形也会从原来的的等幅振荡信号， 逐步演变成幅度多项式增加的形式。 极点阶次越高， 对应的幅度增加多项式的阶次也越高。 从这一点来看，整个虚轴上极点阶次对波形幅值的影响是相似的。
  

3、正实轴与第一象限高阶极点

  当极点位于正实轴与第一象限时， 对应的高阶极点也是在原有信号前面，乘以t的多项式。 对应的信号波形是在原有的指数增加的基础上， 叠加有多项式增加趋势。 从外观上来看，仅仅改变了波形在零点处的取值， 是从0 开始演变的。

负实轴与第二象限的极点

  当极点位于负实轴上以及第二象限中， 对于一阶极点来说，对应的信号幅值都是指数衰减的信号。 当极点的阶次增加之后， 信号的幅值就会多出多项式部分。 但由于指数衰减在t趋向于无穷大的时候，会远远小于多项式， 所以最终信号的幅值还是指数衰减的。 从外观上来看，这部分的波形呈现出，先增加在指数减小的情况。 这里给出负实轴上对应的高阶极点波形。 对于第三、第四象限高阶极点情况，与第二，第一象限相似。

三、极点阶次对 波形影响

  前面分别讨论不同位置极点的阶次对于波形影响的对比。 整体上来讲，极点阶次增加，会在信号幅度上增加多项式部分，呈现增加趋势。 这个变化影响最大的是针对虚轴上的极点， 使得它从原来的恒定幅值信号变成多项式增加的信号。 对于虚轴右边和左边的极点来讲，  极点的阶次都不会改变t趋向于无穷大时， 信号变化的情况。

※ 总  结 ※

  本文对于系统函数中极点的阶次增加，对于系统单位重新及相应的波形的影响进行的分析。帮助同学理解极点位置对系统时域特性（稳定性）的影响。

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