【优化算法】多目标灰狼优化算法（MOGWO）【含Matlab源码 099期】

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二、灰狼算法简介

1 前言：
灰狼优化算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）由澳大利亚格里菲斯大学学者 Mirjalili 等人于2014年提出来的一种群智能优化算法。该算法受到了灰狼捕食猎物活动的启发而开发的一种优化搜索方法，它具有较强的收敛性能、参数少、易实现等特点。近年来受到了学者的广泛关注，它己被成功地应用到了车间调度、参数优化、图像分类等领域中。
2 算法原理：
灰狼隶属于群居生活的犬科动物，且处于食物链的顶层。灰狼严格遵守着一个社会支配等级关系。如图：

社会等级第一层：狼群中的头狼记为 \alpha，\alpha 狼主要负责对捕食、栖息、作息时间等活动作出决策。由于其它的狼需要服从\alpha 狼的命令，所以 \alpha 狼也被称为支配狼。另外， \alpha 狼不一定是狼群中最强的狼，但就管理能力方面来说， \alpha 狼一定是最好的。

社会等级第二层：\beta 狼，它服从于 \alpha 狼，并协助 \alpha 狼作出决策。在 \alpha 狼去世或衰老后，\beta 狼将成为 \alpha 狼的最候选者。虽然 \beta 狼服从 \alpha 狼，但 \beta 狼可支配其它社会层级上的狼。

社会等级第三层：\delta 狼，它服从 \alpha 、\beta 狼，同时支配剩余层级的狼。\delta 狼一般由幼狼、哨兵狼、狩猎狼、老年狼及护理狼组成。

社会等级第四层：\omega 狼，它通常需要服从其它社会层次上的狼。虽然看上去 \omega 狼在狼群中的作用不大，但是如果没有 \omega 狼的存在，狼群会出现内部问题如自相残杀。

GWO 优化过程包含了灰狼的社会等级分层、跟踪、包围和攻击猎物等步骤，其步骤具体情况如下所示。

１）社会等级分层（Social Hierarchy）当设计 GWO 时，首先需构建灰狼社会等级层次模型。计算种群每个个体的适应度，将狼群中适应度最好的三匹灰狼依次标记为 \alpha、\beta 、\delta ，而剩下的灰狼标记为 \omega。也就是说，灰狼群体中的社会等级从高往低排列依次为； \alpha、\beta 、\delta 及 \omega。GWO 的优化过程主要由每代种群中的最好三个解（即 \alpha、\beta 、\delta ）来指导完成。

２）包围猎物（ Encircling Prey ）灰狼捜索猎物时会逐渐地接近猎物并包围它，该行为的数学模型如下：

式中：t 为当前迭代次数：。表示 hadamard 乘积操作；A 和 C 是协同系数向量；Xp 表示猎物的位置向量； X(t) 表示当前灰狼的位置向量；在整个迭代过程中 a 由2 线性降到 0； r1 和 r2 是 [0，1] 中的随机向量。

３）狩猎（ Hunring）

灰狼具有识别潜在猎物（最优解）位置的能力，搜索过程主要靠 \alpha、\beta 、\delta 灰狼的指引来完成。但是很多问题的解空间特征是未知的，灰狼是无法确定猎物（最优解）的精确位置。为了模拟灰狼（候选解）的搜索行为，假设 \alpha、\beta 、\delta 具有较强识别潜在猎物位置的能力。因此，在每次迭代过程中，保留当前种群中的最好三只灰狼（ \alpha、\beta 、\delta ），然后根据它们的位置信息来更新其它搜索代理（包括 \omega）的位置。该行为的数学模型可表示如下：

式中：X_{{\alpha }}、X{{\beta }}、X{{\delta }} 分别表示当前种群中 \alpha、\beta 、\delta 的位置向量；Ｘ表示灰狼的位置向量；D{{\alpha }}、D{{\beta }}、D{_{\delta }} 分别表示当前候选灰狼与最优三条狼之间的距离；当｜A｜＞１时，灰狼之间尽量分散在各区域并搜寻猎物。当｜A｜＜１时，灰狼将集中捜索某个或某些区域的猎物。

从图中可看出，候选解的位置最终落在被 \alpha、\beta 、\delta 定义的随机圆位置内。总的来说， \alpha、\beta 、\delta 需首先预测出猎物（潜
在最优解）的大致位置，然后其它候选狼在当前最优兰只狼的指引下在猎物附近随机地更新它们的位置。

４）攻击猎物（Attacking Prey）构建攻击猎物模型的过程中，根据2)中的公式，ａ值的减少会引起 A 的值也随之波动。换句话说，A 是一个在区间［-a，a］（备注：原作者的第一篇论文里这里是[-2a,2a]，后面论文里纠正为[-a,a]）上的随机向量，其中ａ在迭代过程中呈线性下降。当 A 在［-1，１］区间上时，则捜索代理（Search Agent）的下一时刻位置可以在当前灰狼与猎物之间的任何位置上。

５）寻找猎物（Search for Prey）灰狼主要依赖 \alpha、\beta 、\delta 的信息来寻找猎物。它们开始分散地去搜索猎物位置信息，然后集中起来攻击猎物。对于分散模型的建立，通过｜A｜＞１使其捜索代理远离猎物，这种搜索方式使 GWO 能进行全局搜索。GWO 算法中的另一个搜索系数是Ｃ。从2)中的公式可知，Ｃ向量是在区间范围［０，２］上的随机值构成的向量，此系数为猎物提供了随机权重，以便増加（｜Ｃ｜＞１）或减少（｜Ｃ｜＜１）。这有助于 GWO 在优化过程中展示出随机搜索行为，以避免算法陷入局部最优。值得注意的是，Ｃ并不是线性下降的，Ｃ在迭代过程中是随机值，该系数有利于算法跳出局部，特别是算法在迭代的后期显得尤为重要。

3 VRP问题描述：
假设在一个供求关系系统中，车辆从货源取货，配送到对应的若干配送点。车辆存在最大载货量，且配送可能有时间限制。需要合理安排取货时间，组织适当的行车路线，使用户需求得到满足，同时使某个代价函数最小，比如总工作时间最少、路径最短等。

可以看出TSP问题是VRP问题的一种简单特殊形式。因此，VRP也是一种NP hard 问题。

三、部分源代码

%___________________________________________________________________%
%  Multi-Objective Grey Wolf Optimizer (MOGWO)                      %
% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all
clc

drawing_flag = 1;    %绘图标志 

TestProblem='UF1';
nVar=10;     

fobj = cec09(TestProblem);

xrange = xboundary(TestProblem, nVar);

% Lower bound and upper bound
lb=xrange(:,1)';
ub=xrange(:,2)';

VarSize=[1 nVar];

GreyWolves_num=100;     
MaxIt=1000;  % Maximum Number of Iterations
Archive_size=30;   % Repository Size  储存库大小 

alpha=0.1;  % Grid Inflation Parameter  网格膨胀参数 
nGrid=10;   % Number of Grids per each Dimension  每个维度的网格数 
beta=4; %=4;    % Leader Selection Pressure Parameter主管选择压力参数 
gamma=-2;    % Extra (to be deleted) Repository Member Selection Pressure额外的（将被删除）存储库成员选择压力

% Initialization   初始化 

GreyWolves = CreateEmptyParticle(GreyWolves_num);    %创建空粒子  


for i=1:GreyWolves_num             
    GreyWolves(i).Velocity=0;   
    GreyWolves(i).Position=zeros(1 , nVar );      
    for j=1 : nVar   
        GreyWolves(i).Position(1,j)=unifrnd(lb(j),ub(j),1);   
    end   
    GreyWolves(i).Cost=fobj(GreyWolves(i).Position')';  
    GreyWolves(i).Best.Position=GreyWolves(i).Position;  
    GreyWolves(i).Best.Cost=GreyWolves(i).Cost;   
end   

GreyWolves=DetermineDomination(GreyWolves);

Archive=GetNonDominatedParticles(GreyWolves);

Archive_costs=GetCosts(Archive);
G=CreateHypercubes(Archive_costs,nGrid,alpha);  %创建超立方体 

for i=1:numel(Archive)
    [Archive(i).GridIndex Archive(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(Archive(i),G);
end

% MOGWO main loop

for it=1:MaxIt
    a=2-it*((2)/MaxIt);
    for i=1:GreyWolves_num
        
        clear rep2
        clear rep3
        
        % Choose the alpha, beta, and delta grey wolves
        Delta=SelectLeader(Archive,beta);
        Beta=SelectLeader(Archive,beta);
        Alpha=SelectLeader(Archive,beta);
        
        % If there are less than three solutions in the least crowded
        % hypercube, the second least crowded hypercube is also found
        % to choose other leaders from.   
        %如果在最不拥挤的人群中少于三个解决方案
        %那么第二个拥挤的超级立方体也被发现选择其他领导者的百分比。 
         
        if size(Archive,1) > 1
            counter=0;
            for newi=1:size(Archive,1)
                if sum(Delta.Position~=Archive(newi).Position)~=0
                    counter=counter+1;
                    rep2(counter,1)=Archive(newi);
                end
            end
            Beta=SelectLeader(rep2,beta);    
        end
                
        % This scenario is the same if the second least crowded hypercube
        % has one solution, so the delta leader should be chosen from the
        % third least crowded hypercube.          
        if size(Archive,1)>2           
            counter=0;        
            for newi=1:size(rep2,1)     
                if sum(Beta.Position~=rep2(newi).Position)~=0        
                    counter=counter+1;       
                    rep3(counter,1)=rep2(newi);          
                end
            end
            Alpha=SelectLeader(rep3,beta);
        end
        
        % Eq.(3.4) in the paper
        c=2.*rand(1, nVar);     
        % Eq.(3.1) in the paper
        D=abs(c.*Delta.Position-GreyWolves(i).Position);   
        % Eq.(3.3) in the paper
        A=2.*a.*rand(1, nVar)-a;   
        % Eq.(3.8) in the paper
        X1=Delta.Position-A.*abs(D);    
        
        
        % Eq.(3.4) in the paper
        c=2.*rand(1, nVar);
        % Eq.(3.1) in the paper
        D=abs(c.*Beta.Position-GreyWolves(i).Position);
        % Eq.(3.3) in the paper
        A=2.*a.*rand()-a;
        % Eq.(3.9) in the paper
        X2=Beta.Position-A.*abs(D);
        
        
        % Eq.(3.4) in the paper
        c=2.*rand(1, nVar);
        % Eq.(3.1) in the paper
        D=abs(c.*Alpha.Position-GreyWolves(i).Position);
        % Eq.(3.3) in the paper
        A=2.*a.*rand()-a;
        % Eq.(3.10) in the paper
        X3=Alpha.Position-A.*abs(D);
        
        % Eq.(3.11) in the paper
        GreyWolves(i).Position=(X1+X2+X3)./3;
        
        % Boundary checking
        GreyWolves(i).Position=min(max(GreyWolves(i).Position,lb),ub);
        
        GreyWolves(i).Cost=fobj(GreyWolves(i).Position')';
    end
    
    GreyWolves=DetermineDomination(GreyWolves);
    non_dominated_wolves=GetNonDominatedParticles(GreyWolves);
    
    Archive=[Archive
        non_dominated_wolves];    
    
    Archive=DetermineDomination(Archive);     
    
    Archive=GetNonDominatedParticles(Archive);      
    
    for i=1:numel(Archive)
        [Archive(i).GridIndex Archive(i).GridSubIndex]=GetGridIndex(Archive(i),G );
    end
    
    if numel(Archive)>Archive_size
        EXTRA=numel(Archive)-Archive_size;
        Archive=DeleteFromRep(Archive,EXTRA,gamma);
        
        Archive_costs=GetCosts(Archive);
        G=CreateHypercubes(Archive_costs,nGrid,alpha);
        
    end
    
    disp(['In iteration ' num2str(it) ': Number of solutions in the archive = ' num2str(numel(Archive))]);
    save results
    
    % Results
    
    costs=GetCosts(GreyWolves);
    Archive_costs=GetCosts(Archive);
    
    if drawing_flag==1    
        hold off
        plot(costs(1,:),costs(2,:),'k.');
        hold on
        plot(Archive_costs(1,:),Archive_costs(2,:),'rd');
        legend('Grey wolves','Non-dominated solutions');
        drawnow
    end
    
end







  

 

  
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四、运行结果

五、matlab版本及参考文献

1 matlab版本
2014a

2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.

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