【优化算法】多目标萤火虫算法(MOFA)【含Matlab源码 1595期】
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二、萤火虫优化算法(FA)简介
1 介绍
萤火虫(firefly)种类繁多,主要分布在热带地区。大多数萤火虫在短时间内产生有节奏的闪光。这种闪光是由于生物发光的一种化学反应,萤火虫的闪光模式因种类而异。萤火虫算法(FA)是基于萤火虫的闪光行为,它是一种用于全局优化问题的智能随机算法,由Yang Xin-She(2009)[1]提出。萤火虫通过下腹的一种化学反应-生物发(bioluminescence)发光。这种生物发光是萤火虫求偶仪式的重要组成部分,也是雄性萤火虫和雌性萤火虫交流的主要媒介,发出光也可用来引诱配偶或猎物,同时这种闪光也有助于保护萤火虫的领地,并警告捕食者远离栖息地。在FA中,认为所有的萤火虫都是雌雄同体的,无论性别如何,它们都互相吸引。该算法的建立基于两个关键的概念:发出的光的强度和两个萤火虫之间产生的吸引力的程度。
2 天然萤火虫的行为
天然萤火虫在寻找猎物、吸引配偶和保护领地时表现出惊人的闪光行为,萤火虫大多生活在热带环境中。一般来说,它们产生冷光,如绿色、黄色或淡红色。萤火虫的吸引力取决于它的光照强度,对于任何一对萤火虫来说,较亮的萤火虫会吸引另一只萤火虫。所以,亮度较低的个体移向较亮的个体,同时光的亮度随着距离的增加而降低。萤火虫的闪光模式可能因物种而异,在一些萤火虫物种中,雌性会利用这种现象猎食其他物种;有些萤火虫在一大群萤火虫中表现出同步闪光的行为来吸引猎物,雌萤火虫从静止的位置观察雄萤火虫发出的闪光,在发现一个感兴趣趣的闪光后,雌性萤火虫会做出反应,发出闪光,求偶仪式就这样开始了。一些雌性萤火虫会产生其他种类萤火虫的闪光模式,来诱捕雄性萤火虫并吃掉它们。
3 萤火虫算法
萤火虫算法模拟了萤火虫的自然现象。真实的萤火虫自然地呈现出一种离散的闪烁模式,而萤火虫算法假设它们总是在发光。为了模拟萤火虫的这种闪烁行为,Yang Xin-She提出了了三条规则(Yang,2009):
(1)假设所有萤火虫都是雌雄同体的,因此一只萤火虫可能会被其他任何萤火虫吸引。
(2)萤火虫的亮度决定其吸引力的大小,较亮的萤火虫吸引较暗的萤火虫。如果没有萤火虫比被考虑的萤火虫更亮,它就会随机移动。
(3)函数的最优值与萤火虫的亮度成正比。
光强(I)与光源距离(r)服从平方反比定律,因此由于空气的吸收,光的强度(I)随着与光源距离的增加而减小,这种现象将萤火虫的可见性限定在了非常有限的半径内:
萤火虫算法的主要实现步骤如下:
其中I0为距离r=0时的光强(最亮),即自身亮度,与目标函数值有关,目标值越优,亮度越亮;γ为吸收系数,因为荧光会随着距离的增加和传播媒介的吸收逐渐减弱,所以设置光强吸收系数以体现此特性,可设置为常数;r表示两个萤火虫之间的距离。有时也使用单调递减函数,如下式所示。
第二步为种群初始化:
其中t表示代数,xt表示个体的当前位置,β0exp(-γr2)是吸引度,αε是随机项。下一步将会计算萤火虫之间的吸引度:
其中β0表示r=0时的最大吸引度。
下一步,低亮度萤火虫向较亮萤火虫运动:
最后一个阶段,更新光照强度,并对所有萤火虫进行排序,以确定当前的最佳解决方案。萤火虫算法的主要步骤如下所示。
Begin
初始化算法基本参数:设置萤火虫数目n,最大吸引度β0,光强吸收系数γ,步长因子α,最大迭代次数MaxGeneration或搜索精度ε;
初始化:随机初始化萤火虫的位置,计算萤火虫的目标函数值作为各自最大荧光亮度I0;
t=1
while(t<=MaxGeneration || 精度>ε)
计算群体中萤火虫的相对亮度I(式2)和吸引度β(式5),根据相对亮度决定萤火虫的移动方向;
更新萤火虫的空间位置,对处在最佳位置的萤火虫进行随机移动(式6);
根据更新后萤火虫的位置,重新计算萤火虫的亮度I0;
t=t+1
end while
输出全局极值点和最优个体值。
end
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萤火虫算法与粒子群算法(PSO)和细菌觅食算法(BFA)有相似之处。在位置更新方程中,FA和PSO都有两个主要分量:一个是确定性的,另一个是随机性的。在FA中,吸引力由两个组成部分决定:目标函数和距离,而在BFA中,细菌之间的吸引力也有两个组成部分:适应度和距离。萤火虫算法实现时,整个种群(如n)需要两个内循环,特定迭代需要一个外循环(如I),因此最坏情况下FA的计算复杂度为O(n2I)。
三、部分源代码
%% This demo shows how the multiobjective firefly algorithm (MOFA) works %
%%
% -----------------------------------------------------------------------
function mofa_new(inp)
if nargin<1,
inp=[100 1000]; % Default parameters
end
n=inp(1); % Population size (number of fireflies)
tMax=inp(2); % Maximum number of iterations
alpha=1.0; % Randomness strength 0--1 (highly random)
beta0=1.0; % Attractiveness constant
gamma=0.1; % Absorption coefficient
theta=10^(-4/tMax); % The parameter theta can be taken as 0.97 to 0.99
% This is a randomness reduction factor for alpha
% For the ZDT Function #3 with m=2 objectives
m=2; % Number of objectives
RnD=zeros(n,2); % Initilize the rank and distance matrix
% Dimension of the search/independent variables
d=30;
Lb=0*ones(1,d); % Lower bounds/limits
Ub=1*ones(1,d); % Upper bounds/limits
% Generating the initial locations of n fireflies
for i=1:n,
Sol(i,:)=Lb+(Ub-Lb).*rand(1,d);
f(i,1:m) = obj_funs(Sol(i,:), m);
end
% Store the fitness or objective values
f_new=f;
%% Sort the initialized population
x=[Sol f]; % combined into a single input
% Non-dominated sorting for the initila population
Sorted=solutions_sorting(x, m,d);
% Decompose into solutions, fitness, rank and distances
Sol=Sorted(:,1:d); S_new=Sol; % Record solutions
f=Sorted(:,(d+1):(d+m)); f_new=f; % Record objectives
RnD=Sorted(:,(d+m+1):end); % Record ranks
for t=1:tMax, %%%%% start the firely algorithm iterations %%%%%
alpha=alpha*theta; % Reduce alpha by a factor 0<theta<1
scale=abs(Ub-Lb); % Scale of the optimization problem
Sol_old=Sol; % Save the old population
f_old=f; % Save the old population objectives
% Two loops over all the n fireflies
for i=1:n,
for j=i:n,
% Update moves and move to the brighter/more attractive
% That is, all m objectives [i.e., f(,1:m)] should improve.
% For example, for m=2, this means that the logical
% condition (f(j,1)<=f(i,1) & f(j,2) <=f(i,2)) is true.
if (f(j,1:m)<=f(i,1:m)),
r=sqrt(sum((Sol(i,:)-Sol(j,:)).^2));
beta=beta0*exp(-gamma*r.^2); % Attractiveness
steps=alpha.*(rand(1,d)-0.5).*scale;
% The FA equation for updating position vectors
% That is, to move firefly i torwards firefly j
Sol(i,:)=Sol(i,:)+beta*(Sol(j,:)-Sol(i,:))+steps;
Sol(i,:)=simplebounds(Sol(i,:),Lb,Ub);
end
f(i,1:m)=obj_funs(Sol(i,1:d),m);
end % end for j
end % end for i
%% Evalute the fitness/function values of the new population
for j=1:n,
f_new(j, 1:m)=obj_funs(Sol(j,1:d),m);
if (f_new(j,1:m) <= f(j,1:m)), % if all improve
f(j,1:m)=f_new(j,1:m);
end
% Update the current best (stored in the first row)
if (f_new(j,1:m) <= f(1,1:m)),
Sol(1,1:d) = Sol(j,1:d);
f_new(1,:)=f_new(j,:);
end
end % end of for loop j
%% ! It's very important to combine both populations, otherwise,
%% the results may look odd and will be very inefficient. !
%% The combined population consits of both the old and new solutions
%% So the total size of the combined population for sorting is 2*n
X(1:n,:)=[Sol f_new]; % Combine new solutions
X((n+1):(2*n),:)=[Sol_old f_old]; % Combine old solutions
Sorted=solutions_sorting(X, m, d);
%% Select n solutions among a combined population of 2*n solutions
new_Sol=Select_pop(Sorted, m, d, n);
% Decompose into solutions, fitness and ranking
Sol=new_Sol(:,1:d); % Sorted solutions
f=new_Sol(:,(d+1):(d+m)); % Sorted objective values
RnD=new_Sol(:,(d+m+1):end); % Sorted ranks and distances
%% Running display at each 100 iterations
if ~mod(t,100),
disp(strcat('Iterations t=',num2str(t)));
plot(f(:, 1), f(:, 2),'ro','MarkerSize',3);
axis([0 1 -0.8 1]);
xlabel('f_1'); ylabel('f_2');
drawnow;
end
end % End of t loop (up to tMax) and end of the main FA loop
%% Make sure that new fireflies are within the bounds/limits
function s=simplebounds(s,Lb,Ub)
% Apply the lower bound
ns_tmp=s;
I=ns_tmp<Lb;
ns_tmp(I)=Lb(I);
% Apply the upper bounds
J=ns_tmp>Ub;
ns_tmp(J)=Ub(J);
% Update this new move
s=ns_tmp;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Objective functions
function f = obj_funs(x, m)
% Zitzler-Deb-Thiele's funciton No 3 (ZDT function 3)
% m = # of objectives % d = # of variables/dimensions
d=length(x); % d=30 for ZDT 3
% First objective f1
f(1) = x(1);
g=1+9/29*sum(x(2:d));
%%%%%%%%%%%%%%%%%% end of the definitions of obojectives %%%%%%%%%%%%%%%%%%
function new_Sol = Select_pop(firefly, m, ndim, npop)
% The input population to this part has twice (ntwice) of the needed
% population size (npop). Thus, selection is done based on ranking and
% crowding distances, calculated from the non-dominated sorting
ntwice= size(firefly,1);
% Ranking is stored in column Krank
Krank=m+ndim+1;
% Sort the population of size 2*npop according to their ranks
[~,Index] = sort(firefly(:,Krank));
sorted_firefly=firefly(Index,:);
% Get the maximum rank among the population
RankMax=max(firefly(:,Krank));
%% Main loop for selecting solutions based on ranks and crowding distances
for i =1:RankMax,
% Obtain the current rank i from sorted solutions
RankSol = max(find(sorted_firefly(:, Krank) == i));
% In the new solutions, there can be npop solutions to fill
if RankSol<npop,
new_Sol(K+1:RankSol,:)=sorted_firefly(K+1:RankSol,:);
end
% If the population after addition is large than npop, re-arrangement
% or selection is carried out
if RankSol>=npop
% Sort/Select the solutions with the current rank
candidate_firefly=sorted_firefly(K + 1 : RankSol, :);
[~,tmp_Rank]=sort(candidate_firefly(:,Krank+1),'descend');
% Fill the rest (npop-K) fireflies/solutions up to npop solutions
for j = 1:(npop-K),
new_Sol(K+j,:)=candidate_firefly(tmp_Rank(j),:);
end
end
% Record and update the current rank after adding new solutions
K = RankSol;
end
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四、运行结果
五、matlab版本及参考文献
1 matlab版本
2014a
2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例(第2版)[M].电子工业出版社,2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社,2017.
[3]群体智能优化算法之萤火虫算法(Firefly Algorithm,FA)
文章来源: qq912100926.blog.csdn.net,作者:海神之光,版权归原作者所有,如需转载,请联系作者。
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