一、TSP简介

旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
TSP的数学模型

二、蚁群算法简介

1 概要
模拟蚂蚁觅食行为（最短路径原理）设计的算法。讲蚂蚁群觅食的特点抽象出来转化成数学描述。

• 蚁群算法(Ant Colony Algorithm, ACA)由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中首次提出。
• 蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其它蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征路径的远近，信息素浓度越高，表示对应的路径距离越短。
• 通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放 一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样，会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即距离最短。
• 生物学家同时发现，路径上的信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰减。
• 将蚁群算法应用于解决优化问题，其基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短 的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。
类比GA（遗传算法）的交叉、选择、变异，PSO（粒子群算法）的个体、群体极值优化，蚁群算法也有自己的优化策略：正反馈的信息机制、信息素浓度的更新、蚂蚁对能够访问的路径的筛选。

2 基本思想
蚁群算法的基本原理来源于自然界蚂蚁觅食的最短路径原理。根据昆虫学家的观察,发现自然界的蚂蚁虽然视觉不发达,但它可以在没有任何提示的情况下找到从食物源到巢穴的最短路径,并且能在环境发生变化(如原有路径上有了障碍物)后,自适应地搜索新的最佳路径。蚂蚁是如何做到这一点的呢?
原来,蚂蚁在寻找食物源时,能在其走过的路径上放一种蚂蚁特有的分泌物-信息 素,也可称为信息素,使得一定范围内的其他蚂蚁能够察觉到并由此影响它们以后的行为。当一些路径上通过的蚂蚁越来越多时,其留下的信息素也越来越多,以致信息素强度增大(当然,随时间的推移会逐渐减弱,所以蚂蚁选择该路径的概率也越高,从而更增加了该路径的信息素强度,这种选择过程被称之为蚂蚁的自催化行为。 由于其原理是一种正反馈机制,因此,也可将蚂蚁王国理解为所谓的增强型学习系统。 这里我们用一个图来说明蚂蚁觅食的最短路径选择原理,如图所示。在中,假设A点是蚂蚁的巢穴,B点是食物,A、B两点间有一个障碍物,那么此时从A点到B点 的蚂蚁就必须决定往左走还是往右走,而从B点到A点的蚂蚁也必须决定选择走哪条路径。 这种决定会受到各条路径上以往蚂蚁留下的信息素浓度(即残留信息素浓度)的影响。 如果往 右走的路径上的信息素浓度比较大,那么右边的路径被蚂蚁选中的可能性也就大一些。但对于第一批探路的蚂蚁,因为没有信息素的影响或影响比较小,所以它们选择向左或者向右的可能性是一样的,正如图所示的那样。随着觅食过程的进行,各条道路上信息 素的强度开始出现变化,有的线路强,有的 线路弱。现以从A点到B点的蚂蚁为例说明(从B点到 A点的蚂蚁,过程也基本是一样的)随后过程的变化。由于路径 ADB比路径ACB要短,因此选择ADB路径的第一只蚂蚁要比选择ACB的第一只蚂蚁早到达B点。此时,从B点向 A点看,路径BDA A上的信息素浓度要比路径BCA上的信息素浓度大。因此从下一时刻开始,从B点到A 点的蚂蚁,它们选择 BDA路径的可能性要比选择BCA路径的可能性就大些,从而使ABDA路线上的信息素进一步增强,于是依D赖信息素强度选择路径的蚂蚁逐渐偏向于选择路径 ADB,如图所示。随着时间的推移,几乎所有的蚂蚁都会选择路径 ADB(或 BDA)搬运食物,而我们同时也会发现:ADB路径也正是事实上的最短路径。这种蚁群寻径的原理可简单理解为:对于单个的蚂蚁,它并没有要寻找最短路径的主观上的故意;但对于整个蚁群系统,它们又确实达到了寻找到最短路径的观上的效果。 在自然界中,蚁群的这种寻找路径的过程表现为一种正反馈的过程,“蚁群算法”就是模拟 生物学上蚂蚁群觅食寻找最短路径的原理衍生出来的。例如,我们把只具备了简单功能的工 作单元视为“蚂蚁”,那么上述寻找路径的过程可以用于解释蚁群算法中人工蚁群的寻优过程。 这也就是蚁群算法的基本思想。

3 算法设计的流程
这里以TSP问题为例，算法设计的流程如下：
步骤1：对相关参数进行初始化，包括蚁群规模、信息素因子、启发函数因子、信息素挥发因子、信息素常数、最大迭代次数等，以及将数据读入程序，并进行预处理：比如将城市的坐标信息转换为城市间的距离矩阵。
步骤2：随机将蚂蚁放于不同出发点，对每个蚂蚁计算其下个访问城市，直到有蚂蚁访问完所有城市。
步骤3：计算各蚂蚁经过的路径长度Lk，记录当前迭代次数最优解，同时对路径上的信息素浓度进行更新。
步骤4：判断是否达到最大迭代次数，若否，返回步骤2；是，结束程序。
步骤5：输出结果，并根据需要输出寻优过程中的相关指标，如运行时间、收敛迭代次数等。

4 数学模型

三、部分源代码

% TSP的蚁群——粒子群算法program

function y20_2
clc % 清屏
clear; % 删除workplace变量
close all; % 关掉显示图形窗口
tic
% 保留每次迭代的最优解
% 以max(t^a*d^(-b))为依据找最优路劲，与保留的最优路劲比较
x=[2,4,7,13,18,18,22,24,25,25,37,41,41,44,45,54,54,58,58,62,64,68,71,71,74,82,83,83,87,91];
y=[99,50,64,40,40,54,60,42,38,62,84,26,94,35,21,62,67,35,69,32,60,58,44,71,78,7,46,69,76,38];
n=30;% n表示城市数
c=100;%最初的
q=10^(+6);
NC=50;
r=0.5;% r表示轨迹持久性
a=1;% a表示轨迹相对重要性
b=4;% b表示能见度相对重要性
m=30;% m表示蚂蚁数目
for i=1:n
    for j=1:n
        dij(i,j)=sqrt((x(i)-x(j))^2+(y(i)-y(j))^2);%距离
    end
end
for i=1:n
    dij(i,i)=0.01;
end

min10=10^5;
t=ones(n)*c;
for i=1:100
    road(i,:)=randperm(n);
    ltspc(i)=ca_tsp(n,road(i,:),dij);
end

ltspsort=sort(ltspc);
l30=ltspsort(m);%选择m个初始解,m只蚂蚁
i1=0;
for i=1:100
    if ltspc(i)<=1300
        for k=1:n-1
            t(road(i,k),road(i,k+1))=t(road(i,k),road(i,k+1))+10;
            t(road(i,k+1),road(i,k))=t(road(i,k),road(i,k+1));
        end
        t(road(i,1),road(i,n))=t(road(i,1),road(i,n))+10;
        t(road(i,n),road(i,1))=t(road(i,1),road(i,n));    
        i1=i1+1;
        pcbest(i1,:)=road(i,:);%初始pcbest路径长度
        plbest(i1)=ltspc(i);%初始plbest，路径
    end
end

[glbest,j]=min(plbest);%初始glbest路径长度
gcbest=pcbest(j,:);%初始gcbest路径
for nc=1:NC 
    
    tabu=ones(m,n);%禁忌表
    tabu(:,1)=0;
    path=ones(m,n);
    for k=1:m
        for step=1:n-1
            ta=t.^a;
            tb=dij.^(-b);
            td=ta.*tb;
            pd=tabu(k,:).*td(path(k,step),:);
            pk=pd/sum(pd);%概率
            rk=rand;
            spk=0;
            j=1;
            while j<=n
                if rk<spk+pk(j)
                    break;
                else 
                    spk=spk+pk(j);
                    j=j+1;
                end
            end
            tabu(k,j)=0;
            path(k,step+1)=j;
        end
    end
    
     for i=1:m
        ltsp(i)=ca_tsp(n,path(i,:),dij);
        %交叉操作
        % 四种交叉子程序分别为cross_tsp_a,cross_tsp_b,cross_tsp_c,cross_tsp_d
        path1(i,:)=cross_tsp_d(path(i,:),gcbest,n);
        path1(i,:)=cross_tsp_d(path1(i,:),pcbest(i,:),n);
        %变异操作
        %四种变异子程序分别为mutation_a,mutation_b,mutation_c,mutation_d
        path1(i,:)=mutation_d(path1(i,:),n);
        % 计算新路径长度之和
        ltsp1(i)=ca_tsp(n,path1(i,:),dij);
        %求个体极值
        if ltsp1(i)<ltsp(i)
            ltsp(i)=ltsp1(i);
          
     
     %找全局极值
     [glbest,j]=min(plbest);
     gcbest=pcbest(j,:);
     dt=zeros(n);
     for i=1:m
        for k=1:n-1
            dt(path(i,k),path(i,k+1))=dt(path(i,k),path(i,k+1))+q/ltsp(i);
            dt(path(i,k+1),path(i,k))=dt(path(i,k),path(i,k+1));
        end
        dt(path(i,n),path(i,1))=dt(path(i,n),path(i,1))+q/ltsp(i);
        dt(path(i,1),path(i,n))=dt(path(i,n),path(i,1)); 
    end
    t=r*t+dt;
end

%%
ta=t.^a;
tb=dij.^(-b);
td=ta.*tb;
k=3;
ts(1)=1;
td(:,1)=0;
[my,i]=max(td(1,:));
ts(2)=i;
td(:,i)=0;
while k<=n
    [my,i]=max(td(i,:));
    ts(k)=i;
    td(:,i)=0; 
    k=k+1;
end

ts;
ltsp0=ca_tsp(n,ts,dij);
if glbest<ltsp0
    ts=gcbest;
    ltsp0=glbest;
end

k=1;
while k<=n
    x1(k)=x(ts(k));
    y1(k)=y(ts(k));
    k=k+1;
end

x1(n+1)=x1(1);
y1(n+1)=y1(1);
%绘制图形
figure(1),
plot(x,y,'o--');
grid on

figure(2),
line(x1,y1,'color','r','linewidth',2);
hold on
plot(x,y,'o--');
grid on
[x1',y1']
ltsp0
toc
end

% ca_tsp.m
% 计算路径长度

function ltsp=ca_tsp(n,c,dij)
i=1;
ltsp=dij(c(n),c(1));
while i<n
    ltsp=ltsp+dij(c(i),c(i+1));
    i=i+1;
end

end



  

 

  
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四、运行结果

五、matlab版本及参考文献

1 matlab版本
2014a

2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.

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