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🍊往期回顾：凸优化理论基础1–仿射集    凸优化理论基础2——凸集和锥

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凸优化理论基础3——超平面和半空间

  之前我们已经介绍了仿射集、凸集、凸锥等概念，这节将来介绍超平面和半空间。🌵🌵🌵

超平面

  ==定义 == 超平面是具有下面形式的集合

$$\{x|a^Tx=b\} \ , \quad a \in R^n,a\ne 0且b \in R$$

  上述定义还可以表示成以下形式：

$$\{x|a^T(x-x_0)=0\}$$

  其中 $x_0$是超平面上的任意一点。不清楚观此视频🍜🍜🍜这里来看看超平面的几何解释，如下：

半空间

  ==定义：== 半空间是具有下列形式的集合：

$$\{x|a^Tx \le b\}, \quad a \ne 0$$

    一个超平面将 $R^n$ 划分为两个半空间。对于 $R^2$来说，由 $a^Tx \ge b$决定的半空间（无阴影部分）是向 $a$扩展的半空间；由 $a^Tx \le b$决定的半空间（有阴影部分）是向 $-a$扩展的半空间。向量 $a$ 是这个半空间向外的法向量。

超平面和半空间是凸集

​  首先直接给出以下结论：

• 超平面是仿射集
• 超平面是凸集
• 半空间不是仿射集
• 半空间是凸集

这里我想来证明证明==超平面是凸集==和==半空间是凸集==这两个结论【证明凸集及后面证明凸函数比较重要】

1. ==证明超平面是凸集==

2. ==证明半空间是凸集==

球和椭球

​  球的定义给出了三种方式，如下：

1. $B(x_c,r)=\{x| \ ||x-x_c||_2\} \le r$ 。其中 $r > 0,|| \cdot ||_2$ 表示二范数，向量 $x_c$是球心，标量 $r$为半径。== $B(x_c,r)$ 由距离不超过 $r$ 的所有点组成== 🍚🍚🍚
2. $B(x_c,r)=\{x | \ (x-x_c)^T(x-x_c)\} \le r^2$
3. $B(x_c,r)=\{x_c+ru \ | \ ||u||_2 \le 1\}$

球也是凸集，证明如下：【证明用到了二范数的齐次性及三角不等式】

椭球也是凸集，其定义如下：

$$\varepsilon =\{x | \ (x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c) \le 1 \}$$

其中P是对称正定矩阵。
 

关于此部分视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1xp4y1C7z1/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁

范数球和范数锥

​  上面的球是针对二范数而言的，这里的范数球和范数锥类似于球的定义，不过不再限定二范数。

范数球定义： $C=\{x| \ ||x-x_c|| \le r \}$

范数锥定义： $C=\{ (x,t) | \ ||x|| \le t \}$
 

关于此部分视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1oA411t7L4/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁

多面体

  多面体被定义为有限个线性等式和不等式的解集，如下：

$$P=\{x | \ a^T_jx \le b_j \ ,j=1 \ , \cdots \ ,m \ , \ c^T_j=d_j \ , \ j=1 \ , \cdots, \ p\}$$

​  由定义可以看出，多面体是有限个半空间和超平面的交集。仿射集（如子空间、超平面、直线）、射线、线段和半空间都是多面体，且多面体是凸集。下图中的多面体由五个半空间的交集构成：

单纯形

​  单纯形是一类重要的多面体。设 $k+1$个点 $v_0, \cdots ,v_k \in R^n$仿射独立，即 $v_1-v_0, \cdots ,v_k-v_0$线性独立，那么这些点决定了一个单纯形，如下：

$$C=conv\{v_0, \cdots ,v_k \}=\{ \theta_0v_0+ \cdots +\theta_kv_k \ | \ \theta \succeq 0, \ 1^T \theta=1 \}$$

  其中1表示所有分量均为一的向量。这个单纯形的仿射维数为k，因此也称为 $R^n$ 空间的k维单纯形。

  下面给出一些常见的单纯形：

• 一维单纯形是一条线段
• 二维单纯形是一个三角形
• 三维单纯形是一个四面体

半正定锥

此部分参考视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Gt4y127oW/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁

 
 
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