凸优化理论基础3——凸集和凸锥重要例子

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秃头小苏 发表于 2022/05/22 10:54:36 2022/05/22
【摘要】  🍊作者简介:秃头小苏,致力于用最通俗的语言描述问题🍊往期回顾:凸优化理论基础1–仿射集    凸优化理论基础2——凸集和锥🍊近期目标:拥有5000粉丝🍊支持小苏:点赞👍🏼、收藏⭐、留言📩@[toc]  凸优化理论基础3——超平面和半空间  之前我们已经介绍了仿射集、凸集、凸锥等概念,这节将来介绍超平面和半空间。🌵🌵🌵  超平面  ==定义 == 超平面是具有下...

 

🍊作者简介:秃头小苏,致力于用最通俗的语言描述问题

🍊往期回顾:凸优化理论基础1–仿射集    凸优化理论基础2——凸集和锥

🍊近期目标:拥有5000粉丝
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凸优化理论基础3——超平面和半空间

  之前我们已经介绍了仿射集、凸集、凸锥等概念,这节将来介绍超平面和半空间。🌵🌵🌵

 

超平面

  ==定义 == 超平面是具有下面形式的集合

{ x a T x = b }   , a R n , a 0 b R \{x|a^Tx=b\} \ , \quad a \in R^n,a\ne 0且b \in R

  上述定义还可以表示成以下形式:

{ x a T ( x x 0 ) = 0 } \{x|a^T(x-x_0)=0\}

  其中 x 0 x_0 是超平面上的任意一点。不清楚观此视频🍜🍜🍜这里来看看超平面的几何解释,如下:

image-20220502102904090

 

半空间

  ==定义:== 半空间是具有下列形式的集合:

{ x a T x b } , a 0 \{x|a^Tx \le b\}, \quad a \ne 0

    一个超平面将 R n R^n 划分为两个半空间。对于 R 2 R^2 来说,由 a T x b a^Tx \ge b 决定的半空间(无阴影部分)是向 a a 扩展的半空间;由 a T x b a^Tx \le b 决定的半空间(有阴影部分)是向 a -a 扩展的半空间。向量 a a 是这个半空间向外的法向量。

image-20220502103714090

 
 

超平面和半空间是凸集

​  首先直接给出以下结论:

  • 超平面是仿射集
  • 超平面是凸集
  • 半空间不是仿射集
  • 半空间是凸集

这里我想来证明证明==超平面是凸集==和==半空间是凸集==这两个结论【证明凸集及后面证明凸函数比较重要】

  1. ==证明超平面是凸集==

 

  1. ==证明半空间是凸集==

在这里插入图片描述

 
 

球和椭球

​  球的定义给出了三种方式,如下:

  1. B ( x c , r ) = { x   x x c 2 } r B(x_c,r)=\{x| \ ||x-x_c||_2\} \le r 。其中 r > 0 , 2 r > 0,|| \cdot ||_2 表示二范数,向量 x c x_c 是球心,标量 r r 为半径。== B ( x c , r ) B(x_c,r) 由距离不超过 r r 的所有点组成== 🍚🍚🍚
  2. B ( x c , r ) = { x   ( x x c ) T ( x x c ) } r 2 B(x_c,r)=\{x | \ (x-x_c)^T(x-x_c)\} \le r^2
  3. B ( x c , r ) = { x c + r u     u 2 1 } B(x_c,r)=\{x_c+ru \ | \ ||u||_2 \le 1\}

球也是凸集,证明如下:【证明用到了二范数的齐次性及三角不等式】

image-20220502150002153

椭球也是凸集,其定义如下:

ε = { x   ( x x c ) T P 1 ( x x c ) 1 } \varepsilon =\{x | \ (x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c) \le 1 \}

其中P是对称正定矩阵。
 

关于此部分视频链接:https://www.bilibili.com/video/BV1xp4y1C7z1/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁

 
 

范数球和范数锥

​  上面的球是针对二范数而言的,这里的范数球和范数锥类似于球的定义,不过不再限定二范数。

范数球定义: C = { x   x x c r } C=\{x| \ ||x-x_c|| \le r \}

范数锥定义: C = { ( x , t )   x t } C=\{ (x,t) | \ ||x|| \le t \}
 

关于此部分视频链接:https://www.bilibili.com/video/BV1oA411t7L4/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁

  
 

多面体

  多面体被定义为有限个线性等式和不等式的解集,如下:

P = { x   a j T x b j   , j = 1   ,   , m   ,   c j T = d j   ,   j = 1   , ,   p } P=\{x | \ a^T_jx \le b_j \ ,j=1 \ , \cdots \ ,m \ , \ c^T_j=d_j \ , \ j=1 \ , \cdots, \ p\}

​  由定义可以看出,多面体是有限个半空间和超平面的交集。仿射集(如子空间、超平面、直线)、射线、线段和半空间都是多面体,且多面体是凸集。下图中的多面体由五个半空间的交集构成:

image-20220502155705718

 
 

单纯形

​  单纯形是一类重要的多面体。设 k + 1 k+1 个点 v 0 , , v k R n v_0, \cdots ,v_k \in R^n 仿射独立,即 v 1 v 0 , , v k v 0 v_1-v_0, \cdots ,v_k-v_0 线性独立,那么这些点决定了一个单纯形,如下:

C = c o n v { v 0 , , v k } = { θ 0 v 0 + + θ k v k     θ 0 ,   1 T θ = 1 } C=conv\{v_0, \cdots ,v_k \}=\{ \theta_0v_0+ \cdots +\theta_kv_k \ | \ \theta \succeq 0, \ 1^T \theta=1 \}

  其中1表示所有分量均为一的向量。这个单纯形的仿射维数为k,因此也称为 R n R^n 空间的k维单纯形。

  下面给出一些常见的单纯形:

  • 一维单纯形是一条线段
  • 二维单纯形是一个三角形
  • 三维单纯形是一个四面体

 
 

半正定锥

数学符号 S n S^n S + n S^n_+ S + + n S^n_{++}
中文名称 对称矩阵 对称半正定矩阵 对称正定矩阵
数学表达式 S n = { X R n × n   X = X T } S^n=\{X \in R^{n\times n} \| \ X=X^T\} S + n = { X S n   X 0 } S^n_+=\{X \in S^n \| \ X \succeq 0 \} S + n = { X S n   X 0 } S^n_+=\{X \in S^n \|\ X \succ 0 \}
是否为凸集
是否为凸锥

此部分参考视频:https://www.bilibili.com/video/BV1Gt4y127oW/?spm_id_from=autoNext🍁🍁🍁

 
 
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