凸优化理论基础2——凸集和锥

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秃头小苏 发表于 2022/05/22 10:53:54 2022/05/22
【摘要】  🍊作者简介:秃头小苏,致力于用最通俗的语言描述问题🍊往期回顾:凸优化理论基础1–仿射集🍊近期目标:拥有5000粉丝🍊支持小苏:点赞👍🏼、收藏⭐、留言📩@[toc]  凸优化理论基础2——凸集和锥​ 之前我已经介绍过仿射集的概念了,自认为讲的还算清楚,阅读此篇文章前建议先了解仿射集的相关概念🥗🥗🥗 凸集定义  ==定义:== 集合C为凸集等价为⇔\Leftrightar...

 

🍊作者简介:秃头小苏,致力于用最通俗的语言描述问题

🍊往期回顾:凸优化理论基础1–仿射集

🍊近期目标:拥有5000粉丝
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凸优化理论基础2——凸集和锥

​ 之前我已经介绍过仿射集的概念了,自认为讲的还算清楚,阅读此篇文章前建议先了解仿射集的相关概念🥗🥗🥗

凸集

  • 定义

  ==定义:== 集合C为凸集等价为 \Leftrightarrow C中任意两点间的线段仍然在C中,即对任意的 x 1 , x 2 C x_1,x_2 \in C 和满足 0 θ 1 0 \le \theta \le 1 都有 θ x 1 + ( 1 θ ) x 2 C \theta x_1 +(1- \theta)x_2 \in C

  我们在学习相关概念的时候一定要学会对比着学习,凸集从概念上和仿射集是非常相近的,仿射集要求C中任意两点的直线仍然在C中,而凸集只需要求任意两点间的线段仍然在C中,也即凸集对 θ \theta 有一定的限制。从这个定义的差别来看,其实我们就能够得到一个结论:==仿射集一定是凸集。==

  • 例子

  凸集我认为是非常容易理解的,下面的三个例子根据凸集的定义也很好判断是否为凸集🍉🍉🍉

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凸组合

  和仿射组合的概念类似,我们称 θ 1 x 1 + + θ k x k \theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k 为点 x 1 , , x k x_1 , \cdots ,x_k 的一个凸组合。其中 θ 1 + + θ k = 1 \theta_1 + \cdots +\theta_k=1 θ i 0 , i = 1 , , k \theta _i \ge 0 ,i=1, \cdots ,k 。同样的,类似于仿射组合,一个集合是凸集合等价于集合包含其中所有点的凸组合。【注意:这里的 θ i 0 \theta _i \ge 0 是凸组合所有的条件,在仿射组合中没有,这一条件就保证了 0 θ 1 0\le\theta \le1

 

凸包

  我们称集合C中所有点的凸组合的集合为凸包,记为 c o n v C convC 。凸包总是凸的,它包含了C的最小的凸集。如果B是包含C的凸集,那么 c o n v C B convC \subseteq B 。这里给出一些凸包的例子供大家理解🥂🥂🥂【注意凸集的凸包就是其本身】

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锥和凸锥

  如果对于任意的 x C x \in C θ 0 \theta \ge 0 都有 θ x C \theta x \in C ,我们称集合C是锥。【可以看出齐次方程组 A X = 0 AX=0 的解为锥】

  如果集合C是锥,并且C的凸的,则称C为凸锥,即对任意的 x 1 , x 2 C x_1,x_2 \in C θ 1 , θ 2 0 \theta_1,\theta_2 \ge 0 ,都有 θ 1 x 1 + θ 2 x 2 C \theta_1x_1+\theta_2x_2 \in C 。从几何上来看,凸锥构成了一个扇形,扇形以0为顶点,两边分别通过 x 1 x_1 x 2 x_2 ,如下图所示:

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锥组合

​  具有 θ 1 x 1 + + θ k x k θ i 0 , i = 1 , , k \theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k ,\theta _i \ge 0 ,i=1, \cdots ,k 形式的点称为 x 1 , , x k x_1 , \cdots ,x_k 的一个锥组合。如果 x i x_i 均属于凸锥C,那么 x i x_i 的每一个锥组合也在C中,也即集合C是凸锥的充要条件是它包含其元素的所有锥组合。

 

锥包

  集合C的锥包是C中元素的所有锥组合的集合,锥包是包含C的最小的最小的凸锥。这里给出一些锥包的例子供大家理解🥂🥂🥂

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重要例子

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图片来源于书籍凸优化中文版

 
 

凸集、凸锥、仿射集三者关系图

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