GAMES101 学习22——动画与模拟(欧拉方法、刚体模拟、流体模拟)

今天课程的内容主要讨论了如何对一些模拟进行求解，以及对应的方法：

• Single Particle Simulation
• Rigid body simulation
• Fluid simulation

一、Single Particle Simulation

这种方法是通过研究模拟单个粒子在速度场中的运动情况（速度场指的就是一种函数，在任意时刻t和位置x，都有对应的速度取值v(x,t)：

而速度v(x,t) 通常可以用位移函数的一阶导数 $\dot{x}$进行表示，其常微分方程形式为： $\frac{d x}{d t}=\dot{x}=v(x, t)$
ODE：常微分方程。

所以我们可以求解这个常微分方程以得到对应时刻的粒子位置：

1.1 Euler’s Method

这种方法是通过时间间隔Δt 来求解位置的，对于初始时间 t和时间间隔Δt，我们可以求解出对应变化的位移 $\boldsymbol{x}^{t+\Delta t}$和速度 $\dot{\boldsymbol{x}}^{t+\Delta t}$：

由于 Euler’s Method 依赖于Δt 的取值，所以它的结果往往是存在误差和不稳定的：

误差是指当Δt 取值越小，得到的 $\boldsymbol{x}^{t+\Delta t}$越精确：

不稳定是指无论如何减小Δt，有一些情况始终无法通过模拟得到：

1.2 Instability and improvements

下面就有一些方法用来提高稳定性：

1.2.1 Midpoint Method

这种方法的步骤如下：

1. 按 Euler’s Method 计算步长得到 a
2. 计算 a 点与初始点的中点的速度（位移的导数）
3. 按步骤 2 的速度更新初始点位置

这种方法为什么比 Euler’s Method 更稳定呢？因为它等于是用二次项进行模拟，更加准确：

1.2.2 Adaptive Step Size

这种方法的步骤如下：

1. 按 Euler’s Method 计算步长得到位移 $\mathbf{x}_{\mathrm{T}}$
2. 计算 $\mathbf{x}_{\mathrm{T}}$点与初始点的中点的速度，并用这个速度更新得到 $\mathbf{X}_{\mathrm{T} / 2}$
3. 看 $\mathbf{x}_{\mathrm{T}}$与 $\mathbf{X}_{\mathrm{T} / 2}$距离是否过远，如果较远的话就表示Δt 较大，需要对其进行缩小；

1.2.3 Implicit Euler Method

该方法是用未来的一些量（速度、加速度）来求解这个时刻的位移，比如说假设下一个Δt 的加速度 $\ddot{\boldsymbol{x}}^{t+\Delta t}$和当前时刻的位移 $\boldsymbol{x}^{t}$已知，那么就可以求解出下个Δt 的速度和加速度（两个方程两个未知数肯定可以求解）：

如何定义方法是否稳定？这里引入了阶来进行描述：

假设 Implicit Euler 的阶为1，它的局部误差和全局误差分别为 $\mathrm{O}\left(\mathrm{h}^{2}\right)$和O(h)，这里 h 指的是步长即Δt。
O(h) 表示当 h 减小一倍时，对应的误差也会减少一倍。

1.2.4 Runge-Kutta Families

Runge-Kutta Families 是用来求解常微分方程（ODEs）的一类方法，它能更好的模拟非线性的运动：

1.2.5 Position-Based / Verlet Integration

这种方法指的是通过一些规则使得粒子在走下一步时，下一步的位置会得到一定的限制，防止粒子发散，与预期不符（它不是基于物理的方法）：

二、 Rigid body simulation

刚体模拟（Rigid body simulation）不会发生形变，即刚体的内部都会以一种方式（趋势）进行运动，所以也可以把刚体模拟看成是粒子的扩充进行模拟：

当给定了如上微分方程后，我们仍然可以按照模拟粒子运动一样，采用诸如 Euler’s Method 等方法求解常微分方程，来求解刚体的运动。

三、Fluid simulation

流体模拟（Fluid simulation ）可以采用 Position-Based Method 进行，它是一种非物理的方法。
Position-Based Method 主要基于两个假设：

1. 假设水是由无数小的刚体球体组成
2. 假设水无法被压缩，即任意处水的密度相等

基于上述两个假设，Position-Based Method 就可以通过下述步骤模拟流体：
只要知道水的任意处密度发生了改变，就需要改变刚体球体的位置来修正这一部分的密度；
水的任意处的密度都是关于刚体球体的位置的函数，所以我们也能知道任意处的密度梯度，如果想要改变任意处的密度，只需要通过梯度下降法即可。

3.1 Eulerian vs. Lagrangian

前面讲了一些关于模拟粒子运动的方法，接下课程继续介绍了关于模拟大规模物质运动的两种思路：

• (“质点法”) Lagrangian approach：依次模拟空间中每个粒子
• (“⽹格法”) Eulerian approach：将空间划分为不同格子，考虑不同格子的运动和密度变化
  
  https://www.youtube.com/watch?v=iDIzLkic1pY

Material Point Method (MPM) 是一种混合了上述两种方案的方法：