“n个球放入m个盒子是否为空”的方案数

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小哈里 发表于 2022/05/10 23:02:51 2022/05/10
【摘要】 如题:n个小球放到m个盒子里的方案数 1、球相同,盒子不同,不允许空 分成m段,n-1个空选m-1个放隔板 , ...

如题:n个小球放到m个盒子里的方案数

1、球相同,盒子不同,不允许空

分成m段,n-1个空选m-1个放隔板 , C n − 1 m − 1 C_{n-1}^{m-1} Cn1m1

2、球相同,盒子不同,允许空

(1) 加入m个球变成不允许空(假设m个盒子先每个都放1个球)
(2) m-1个隔板和球放在一起,从中选m-1个做隔板, C n + m − 1 m − 1 C_{n+m-1}^{m-1} Cn+m1m1

3、球相同,盒子相同,不允许空

就是整数划分问题啊…n个数写成m个数的和的形式的方案数
f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−j][j]

有1的话就是f[i−1][j−1],没有1的话就拿出j个1先放上再分剩下的,f[i−j][j]

4、球相同,盒子相同,允许空

∑ j = 1 m f [ n ] [ j ] \sum_{j=1}^mf[n][j] j=1mf[n][j]

5、球不同,盒子相同,不允许空

第二类Stirling数:n个不同的元素分成m个集合的方案数 S ( n , m ) S(n,m) S(n,m)
S(i,j)=S(i−1,j−1)+S(i−1,j)∗jS(n,n)=1n≥0, S(n,0)=0,n≥1

考虑一个元素可以放入一个空集合或者已经有元素的集合(j种选择)

6、球不同,盒子相同,允许空

枚举非空盒子数量
∑ j = 1 m S ( n , j ) \sum_{j=1}^mS(n,j) j=1mS(n,j)

7、球不同,盒子不同,不允许空

盒子全排列标号就行了
S ( n , m ) ∗ m ! S(n,m)∗m! S(n,m)m!

8、球不同,盒子不同,允许空

不能简单的全排列标号,因为空盒子标号没有意义
所以枚举非空盒子数量的时候乘上个组合数和全排列标号
∑ j = 1 m S ( n , j ) ∗ A ( m , j ) \sum_{j=1}^mS(n,j)*A(m,j) j=1mS(n,j)A(m,j),其中A是排列 A ( m , j ) = C ( m , j ) ∗ j ! A(m,j)=C(m,j)*j! A(m,j)=C(m,j)j!

文章来源: gwj1314.blog.csdn.net,作者:小哈里,版权归原作者所有,如需转载,请联系作者。

原文链接:gwj1314.blog.csdn.net/article/details/82991224

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