GAMES101 学习5——光栅化（三角形的离散化)

参考资料：

• https://www.yuque.com/sugelameiyoudi-jadcc/okgm7e/7d79f2ac5a59f11721065370e5415070
• https://blog.csdn.net/qq_36242312/article/details/105695242

一、一些准备工作

术语说明：

• Raster（光栅）: 即德语中的Screen， 动词化Rasterize=drawing onto screen
• Pixel（像素）: Picture element的缩写
  

1.1 视锥定义（Define a fov）

只需要定义：垂直的可视视角 和 宽高比 （其他的正交变换之类都可推导出）

fovY表示视野角度，同时已知近平面深度为n，远平面深度为f，宽高比为aspect，所以可以通过相似三角形和角度关系求得：
$\tan \frac{f o v Y}{2}=\frac{t}{|n|}$

$\text {aspect}=\frac{r}{t} → r= {aspect} \cdot {t}$

即构建透视矩阵需要视野角度fov，宽高比，znear, zfar四个参数。

1.2 视口变换

在M（model）,V（view）,P（projection）变换之后，我们已经得到了三维坐标在二维屏幕上的投影，同时也得到了投影区域(Canonical Cube)。之后所需要的就是视口变换。视口变换是把三维坐标与屏幕上指定的区域进行映射，简单来说就是我们在屏幕上规定了一块区域，然后将我们投影的坐标规定好，只能画在这块区域中，这就是视口变换所做的事情。

1.3 定义屏幕空间

既然要找到这个映射关系，那么屏幕自身也应该有自己的坐标系，也就是屏幕空间。我们可以把屏幕上的像素看成是像素的矩阵形式，认为屏幕左下角是原点，向右是x，向上是y，里面每一个坐标都可以看做包含了一个像素。

一些规定：

• Pixel’s indices（像素坐标）是（x，y）的形式；x，y都是整数（integers）
• 所有的像素的表示（0，0）to（width-1，height-1）
• 像素的中心：（x+0.5，y+0.5）
• 整个屏幕覆盖（0，0）to（width，height）
  

1.4 屏幕空间的标准化

这一步需要把Canonical Cube $∈[-1,1]^{2}$变换到 $[0, \text { width }] \times[0, \text { height }]$，width和height就是视口变换所需要规定的区域的长和宽。

这一步变换可以看成是二维平面上矩阵的平移和缩放，故有以下视口变换公式：

二、光栅化

Rasterization -> Draw to Raster Displays

2.1 为什么选择三角形？

1. 基础图元：三角形可以看成是基础图元，用它可以构建出不同的图元
2. 平面：一个三角形必定是一个平面
3. 内外定义：三角形是可以通过顶点环绕顺序来描述其内外性的，方便做面剔除等操作
4. 便于插值：三角形内部插值十分方便

2.2 如何确定三角形在屏幕上的像素

当输入三角形顶点坐标时，如何判断对应屏幕上的像素区域？

答案: 采样

2.3 采样

采样就是对方程离散化的一个过程，在这里我们通过对每一个像素进行判断，如果它的中心点在三角形内部，那么它就是属于三角形的，我们应该在屏幕上将其画出来，而判断方法之前也说过，可以通过叉乘来实现

• 感性理解：给你一个连续函数，在不同的地方去问，它的值是多少
• 采样就是把函数离散化的过程
• 采样是图形学很重要的一个概念，此处是指利用像素中心对屏幕进行采样

2.4 如何判断像素中心是否在三角形内

1. 定义一个inside函数
   

2. 采样
   

3. 具体的实现：叉积→全负/正即为三角形内
   $P_0P_1 \times P_0Q$ 结果朝外
   $P_1P_2 \times P_1Q$ 结果朝外
   $P_2P_0 \times P_2Q$ 结果朝内
   由此说明，Q点位于三角形外部

4. 一个特殊情况：点在边上怎么办

   • 不做处理（本课程）
   • 特殊处理（OPenGL和DX）

5. Checking All Pixels on the Screen?
   只需要找到边界包围盒即可。
   

3. Rasterization on Real Displays

4.锯齿

走样问题