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邻接矩阵

适用：

稠密图，就是说点数的平方与边数接近的情况，换句话说就是边特别多。

不适用：

稀疏图，就是点数的平方与边数差的特别多，边数少，但点数多，就不行了，因为空间占用太大了。

实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010; //图的最大点数量
int n;
int v[N][N];        //邻接矩阵
/**
 * 测试数据
 4
 0 5 2 3
 5 0 0 1
 2 0 0 4
 3 1 4 0
 */
int main() {
    cin >> n;
    //读入到邻接矩阵
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            cin >> v[i][j];

    //下面的代码将找到与点i有直接连接的每一个点以及那条边的长度
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (v[i][j]) cout << "edge from point " 
                << i << " to point " << j << " with length " << v[i][j] << endl;
    return 0;
}

邻接表

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010; //图的最大点数量
struct Edge {       //记录边的终点，边权的结构体
    int to;         //终点
    int value;      //边权
};
int n, m; //表示图中有n个点，m条边
vector<Edge> p[N];  //使用vector的邻接表

/**
 * 测试数据
 4 6
 2 1 1
 1 3 2
 4 1 4
 2 4 6
 4 2 3
 3 4 5
 */
int main() {
    cin >> n >> m;
    //m条边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, l;                //点u到点v有一条权值为l的边
        cin >> u >> v >> l;
        p[u].push_back({v, l});
    }

    //输出
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("出发点：%d ", i);
        for (int j = 0; j < p[i].size(); j++)
            printf(" 目标点：%d,权值：%d;", p[i][j].to, p[i][j].value);
        puts("");
    }

    return 0;
}

链式前向星

链式前向星是邻接表存图的第二种方法，它自己还有两种写法，比 用向量存图的那种邻接表要快 。

它是一种以边为主的存图方式，idxidx表示最后一条边的预存入的房间号,$head[i$]表示以$i$为起点第一条边的房间号。

每条边有三个属性：

• 从$head[i]$出发到哪个结点的边？

• 这条边的边权是多少？

• 这条边的下一条边是谁？（下一条边的房间号）

链式前向星有三种变形，需要同学们都掌握，找一种自己最喜欢的背下来，其它两种要求能看懂，因为其它人写题解，可能使用了其它方式。

1、AcWing方式（纯数组）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;     //点数最大值
int n, m;               //n个点，m条边

//idx是新结点加入的数据内索引号
//h[N]表示有N条单链表的头,e[M]代表每个节点的值,ne[M]代表每个节点的下一个节点号
int h[N], e[N << 1], ne[N << 1], w[N << 1], idx;

//链式前向星
void add(int a, int b, int l) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = l, h[a] = idx++;
}


/**
 * 测试数据
 4 6
 2 1 1
 1 3 2
 4 1 4
 2 4 6
 4 2 3
 3 4 5
 */
int main() {
    cin >> n >> m;
    //初始化为-1,每个头节点写成-1
    memset(h, -1, sizeof h);

    //m条边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, l;                //点u到点v有一条权值为l的边
        cin >> u >> v >> l;
        //加入到链式前向星
        add(u, v, l);
    }

    //遍历每个结点
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("出发点：%d ", i);
        for (int j = h[i]; j != -1; j = ne[j])
            printf(" 目标点：%d,权值：%d;", e[j], w[j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

Acwing图的存储方式

方法：使用一个二维数组 g 来存边，其中 g[u][v] 为 1 表示存在 到的边，为 0 表示不存在。如果是带边权的图，可以在 g[u][v] 中存储到的边的边权。

案例

最短距离Dijkstra

从s到t的最短距离算法流程：

b[]表示当前已经确定最短距离的点。

dis[s] = 0, dis[其他] = +∞

for (int i = 1; i <= n; i ++)

t：不在b中的最短距离的点

将t加入b[]

使用t更新其他未被确定的点的距离

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;
int w[N][N];
int dis[N];
bool b[N];


int dijkstra() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    dis[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        int k = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            if (!b[j] && (k == -1 || dis[k] > dis[j]))
                k = j;

        b[k] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++) {
            dis[j] = min(dis[j], dis[k] + w[k][j]);
        }
    }

    if (dis[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    else return dis[n];
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);

    memset(w, 0x3f, sizeof w);

    while (m --) {
        int i, j, k;
        scanf("%d %d %d", &i, &j, &k);
        w[i][j] = min(w[i][j], k);
    }

    int t = dijkstra();

    printf("%d", t);
    return 0;
}

复杂度

应用

邻接矩阵只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况。

其最显著的优点是可以查询一条边是否存在。

由于邻接矩阵在稀疏图上效率很低（尤其是在点数较多的图上，空间无法承受），所以一般只会在稠密图上使用邻接矩阵。

邻接表

使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 vector<int> g[n + 1] 来存边，其中 g[u] 存储的是点的所有出边的相关信息（终点、边权等）。

代码实现

数据定义

h是n个链表的链表头, e存的是每一个节点的值, ne存的是 next指针是多少。

int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool st[N];

插入边

插入一条a指向b的边

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

遍历

深度优先遍历

void dfs(int u) {
    st[u] = true;    // 标记已经被遍历过了
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) dfs(j);
    }
}

广度优先遍历

void bfs() {
    int q[N];    // 定义队列 
    int hh = 0, tt = 0;    // 头和尾指针 
    memset(st, 0, sizeof st);
    q[0] = 1;
    while (hh <= tt) {
        int t = q[hh ++];
        st[t] = true;
        cout << t << ' ';
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (!st[j]) {
                q[++ tt] = j;
            }
        }
    }
}

复杂度

应用

存各种图都很适合，除非有特殊需求（如需要快速查询一条边是否存在，且点数较少，可以使用邻接矩阵）。

尤其适用于需要对一个点的所有出边进行排序的场合。

实现案例

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = N * 2;

// h是n个链表的链表头, e存的是每一个节点的值, ne存的是 next指针是多少。 
int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool st[N];
int n;    // n条边 

// 插入一条a指向b的边 
void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

// 深度优先遍历
void dfs(int u) {
    cout << u << ' ';
    st[u] = true;    // 标记已经被遍历过了
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) dfs(j);
    }
}

// 广度优先遍历 
void bfs() {
    int q[N];    // 定义队列 
    int hh = 0, tt = 0;    // 头和尾指针 
    memset(st, 0, sizeof st);
    q[0] = 1;
    while (hh <= tt) {
        int t = q[hh ++];
        st[t] = true;
        cout << t << ' ';
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (!st[j]) {
                q[++ tt] = j;
            }
        }
    }
}

int main () {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b; 
        add(a, b);
        add(b, a);
    }

    cout << "深度优先遍历：";
    dfs(1);
    cout << endl;
    cout << "广度优先遍历：";
    bfs(); 
    return 0;
}

2、 结构体+数组

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;     //点数最大值
int n, m, idx;          //n个点，m条边,idx是新结点加入的数据内索引号

//链式前向星
struct Edge {
    int to;     //到哪个结点
    int value;  //边权
    int next;   //同起点的下一条边的编号
} edge[N << 1]; //同起点的边的集合 N<<1就是2*N，一般的题目，边的数量通常是小于2*N的，这个看具体的题目要求

int head[N];    //以i为起点的边的集合入口处

//加入一条边，x起点，y终点，value边权
void add_edge(int x, int y, int value) {
    edge[++idx].to = y;         //终点
    edge[idx].value = value;    //权值
    edge[idx].next = head[x];   //以x为起点上一条边的编号，也就是与这个边起点相同的上一条边的编号
    head[x] = idx;              //更新以x为起点上一条边的编号
}

/**
 * 测试数据
 4 6
 2 1 1
 1 3 2
 4 1 4
 2 4 6
 4 2 3
 3 4 5
 */
int main() {
    cin >> n >> m;

    //m条边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, l;                //点u到点v有一条权值为l的边
        cin >> u >> v >> l;
        //加入到链式前向星
        add_edge(u, v, l);
    }

    //遍历每个结点
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("出发点：%d ", i);
        for (int j = head[i]; j; j = edge[j].next)  //遍历每个结点的每一条边
            printf(" 目标点：%d,权值：%d;", edge[j].to, edge[j].value);
        puts("");
    }
    return 0;
}

3、 结构体+数组(2)

为什么链式前向星有两种实现方法呢？这其实是看用不用的问题，如果它用了，那么就是在加边的最后需要++，如果不用，进来就++。

第二个变化就是如果用了，那么就不能用做默认值了，所以需要初始化memset(head,-1 ,sizeof head);

第三个变化就是遍历时的条件变了，成了j!=-1,而不用的就是j就行了，我个人还是喜欢用不带的那个，就是上面的。是因为网上好多网友喜欢这种方式，如果我们看其它人的题解时，可能看不懂，所以也要了解一下。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;     //点数最大值
int n, m, idx;          //n个点，m条边,idx是新结点加入的数据内索引号

//链式前向星
struct Edge {
    int to;     //到哪个结点
    int value;  //边权
    int next;   //同起点的下一条边的编号
} edge[N << 1]; //同起点的边的集合 N<<1就是2*N，一般的题目，边的数量通常是小于2*N的，这个看具体的题目要求

int head[N];    //以i为起点的边的集合入口处

//加入一条边，x起点，y终点，value边权
void add_edge(int x, int y, int value) {
    edge[idx].to = y;           //终点
    edge[idx].value = value;    //权值
    edge[idx].next = head[x];   //以x为起点上一条边的编号，也就是与这个边起点相同的上一条边的编号
    head[x] = idx++;            //更新以x为起点上一条边的编号
}

/**
 * 测试数据
 4 6
 2 1 1
 1 3 2
 4 1 4
 2 4 6
 4 2 3
 3 4 5
 */
int main() {
    cin >> n >> m;

    //初始化head数组
    memset(head, -1, sizeof head);

    //m条边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v, l;                //点u到点v有一条权值为l的边
        cin >> u >> v >> l;
        //加入到链式前向星
        add_edge(u, v, l);
    }

    //遍历每个结点
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("出发点：%d ", i);
        for (int j = head[i]; j != -1; j = edge[j].next)  //遍历每个结点的每一条边
            printf(" 目标点：%d,权值：%d;", edge[j].to, edge[j].value);
        puts("");
    }
    return 0;
}