今天的题有点儿意思，一共有21栋楼，编号从1~21，两栋楼a和b之间，如果a和b互质则连通（有一条走廊）。不禁让人想到，互质？诶！什么是互质呢？

互质：互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者的特殊情形。

重点来了，走一条哈密尔顿回路。那现在又有疑问了？什么是哈密尔顿回路呢？

哈密顿图（哈密尔顿图）（英语：Hamiltonian graph，或Traceable graph）是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径（Hamiltonian path）。

现在大概意思已经明白了 。这里直接引用大佬的解释：

• 一共有2的21次方种状态（从全为0到全为21个1），用二进制表示，例如00000000000000000001，每一位代表一栋教学楼，该位置上为1代表该教学楼已经遍历过，0代表该教学楼没有遍历过。
• 最终的目标为1111·····111（21个1），由于我们从第一栋教学楼出发的，因此初始首位就有一个1（初始状态，即第2种状态，000······0001）
• 每一种状态对应一种遍历的中途过程。
• dp[i][j]存储了第i+1个状态，并且该状态以第j+1栋教学楼为终止节点的方案数。对于某一种状态，由于遍历顺序的不同，因此终止节点可能不同。
• dp[1][0]=1,该等式左边表示第2种状态（000······1），且该状态以第一栋教学楼为终止节点的方案数，并赋值为1.我们就是从第一栋教学楼出发的，这可以理解。
• 状态之间具有转化关系（这里是节点数相差为1的状态间的转化）。例如：000···111（dp[7]）可能从000······110(dp[6])、000······101(dp[5])、000······011(dp[3])转化而来。可以看出是其中一个0变成了1.而转化过程与连通与否相关。因此要考虑转化前后状态的具体终止结点，二者互质才可连通。
• 于是，从dp[1]开始递推，最终得到dp[m-1](m为2的21次方)，随谓dp[m-1],是一个列表，列表中的元素（数字）代表方案数，以不同教学楼为终止节点的方案数，111······111，该列表有21个元素。得到111······111该状态后，并不是最终结果，因为该状态只是表明所有教学楼都只走过一遍，但没有回到第一栋教学楼，由于1和任何数互质，因此无论以哪一栋教学楼为终止节点（只要不是第一栋教学楼），就能回到起点。
• sum(dp[m - 1]) - dp[m - 1][0]即为最终答案。

下面直接开干！！！

代码

Python代码实现：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time    : 2022/3/9 15:22
# @Author  : 府学路18号车神
# @Email   ：yurz_control@163.com
# @File    : Day15.py

from math import gcd    # 导入函数求解最大公约数
from time import time

n = 21       # 输入栋数
m = 1 << n
dp = [[0 for j in range(n)] for i in range(m)]      # #dp[i][j]对于状态i，i的二进制表示中为1的位置 表示走过了教学楼j
load = [[False for a in range(n)] for b in range(n)]

start_time = time()
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if gcd(a, b) == 1:  # 如果a和b之间的最大公约数为1，则表示互质
            load[a-1][b-1] = True
dp[1][0] = 1            # 从第一栋楼出发
for a in range(1, m):
    for b in range(1, m):
        if a >> b & 1:          # 判断状态i是否包含第j栋教学楼
            for k in range(n):          # 枚举所有可能从教学楼k走到教学楼j的情况
                if a - (a<<b) >> k & a and load[k][b]:
                    dp[a][b] += dp[a-(1<<b)][k]
end_time = time()
print("总共耗时：", end_time-start_time)		
print(sum(dp[m-1]) - dp[m-1][0])            # 计算时间很长, 结果为：881012367360

可以得出最终的结果为：881012367360

由此，我们可以快速得出结果，验证完毕！

今天开刷第 十五 天，欢迎大家加入，一起变强，一起自律，一起上国赛！！！