根据相似关系，物点在左、右成像面上几何坐标为

$$\begin{cases} x_L=f_L\frac{X}{Z}\\ y_L=f_L\frac{Y}{Z}\\ z_L=f_L\\\end{cases}\Rightarrow ^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{x}=\frac{f_L}{Z}\,\,^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{X}\,\, \begin{cases} x_R=f_R\frac{X'}{Z'}\\ y_R=f_R\frac{Y'}{Z'}\\ z_R=f_R\\\end{cases}\Rightarrow ^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}=\frac{f_R}{Z'}\,\,^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{X}$$

结合齐次变换关系，有

$$^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}=\frac{f_R}{Z'}\left( \boldsymbol{R}^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{X}+\boldsymbol{t} \right) \\=\frac{f_R}{Z'}\left( \boldsymbol{R}\frac{Z}{f_L}\cdot ^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{x}+\boldsymbol{t} \right) \\=\alpha \boldsymbol{R}^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{x}+\beta \boldsymbol{t}\,\,$$

其中 $\alpha$、 $\beta$为两个与尺度有关的常数。将等式两边同时与向量 $t$做外积，有

$$^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{t}=\left( \alpha \boldsymbol{R}^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{x}+\beta \boldsymbol{t} \right) \times \boldsymbol{t}$$

线性化为

$${\boldsymbol{t}^{\land}}^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}=\alpha \boldsymbol{t}^{\land}\boldsymbol{R}^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{x}$$

两边同乘 $^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}^T$，考虑到 $^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}^T$与向量 $^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{t}$垂直，故

$$\alpha ^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{t}^{\land}\boldsymbol{R}^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{x}=0$$

消去常数 $\alpha$，即得

$${^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{E}^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{x}=0}$$

其中 $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{t}^{\land}\boldsymbol{R}$称为本征矩阵(Essential Matrix)，表征了同一物点在两个透视相机成像面上像点的几何约束关系。

下面引入相机内参矩阵，将像点映射到像素平面

$$\begin{cases} ^{\boldsymbol{L}}\!\!\:\boldsymbol{u}={\boldsymbol{K}_{\boldsymbol{L}}}^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{x}\\ ^{\boldsymbol{R}}\!\!\:\boldsymbol{u}={\boldsymbol{K}_{\boldsymbol{R}}}^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{x}\\\end{cases}$$

代入上式即得

$${ ^{\boldsymbol{R}}\!\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{F}^{\boldsymbol{L}}\!\boldsymbol{u}=0}$$

其中 $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{K}_{R}^{-T}\boldsymbol{EK}_{L}^{-1}$称为基本矩阵(Fundamental Matrix)，表征了同一物点在两个透视相机像素面上像素点间的几何约束关系。

本征矩阵与基本矩阵表征了两个透视模型对极几何的代数特征，以上二式共同构成对极约束(Epipolar Constraint)。

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🚀 计算机视觉基础教程说明

章号                                    内容
  0               色彩空间与数字成像
  1               计算机几何基础
  2               图像增强、滤波、金字塔
  3               图像特征提取
  4               图像特征描述
  5               图像特征匹配
  6               立体视觉
  7               项目实战

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