目录大致如下：

排序（十大排序）——已经讲过
高精度算法
从0->1入门双指针
前缀和
二分
位运算
区间合并

何为二分？

二分，字面意思就是一分为二，就为二分
我们用一个广为流传的故事——猜数字来引入二分

假如，你现在和你的女朋友玩一个游戏，猜数字给定一个范围0-100，你每次进行猜测，女朋友只能告诉你所猜数字是大了，或者是小了，，你根据提示来进行下一步猜想，此刻聪明的彦祖应该会想到当猜50，大了，那你就猜25……反反复复其实这时你就已经用到了二分的思想

都告诉了你们这个游戏，那么我当然会考虑没有女朋友彭于晏的感受了，来教大家用代码实现一下，猜数字游戏，自己与自己玩

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int main()
{
	int a = rand() % 100;
	cout << "请猜想你的数字" << endl;
	while (1) {
		int q;
		cin >> q;
		if (q > a) {
			cout << "大了" << endl;
		}
		else if (q < a) {
			cout << "小了" << endl;
		}
		else {
			cout << "恭喜猜对了" << endl;
			break;
		}
	}
	return 0;
}

当然如果你们心有灵犀也不排除不用二分一次就对的情况，但是二分绝对是较优的解法。

例题

经过上面的那个小游戏，相信大家对二分也有了一个初步的了解，下面我们再通过一个二分的模板例题来加深印象

给定一个升序排列的长度为n的整数数组，以及q个查询
对于每一个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置
如果不存在则返回-1

二分：
本质是二分，而不是题目中的单调

当想找不满足性质的边界值（棕色区域的右边界值）

• 找中间值 mid = (l+r+1)/2
• if(check(mid))等于true或者是false
  check(m)是检查m是在不满足性质的区间（检查是不是在棕色区间）
• 更新l或者r

当想找满足性质的边界值（红色区域的左边界值）

• 找中间值 mid = (l+r+1)/2
• if(check(mid))等于true或者是false
  check(m)是检查m是在满足性质的区间（检查是不是在红色区间）
• 更新l或者r

先写一个check函数
判定在check的情况下（true和false的情况下），如何更新区间。
在check(m)==true的分支下是:
l=mid的情况，中间点的更新方式是m=(l+r+1)/2
r=mid的情况，中间点的更新方式是m=(l+r)/2

保证l=r，搜索最后的答案是闭区间的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 10;
int n, q, k;
int a[maxn];
int main() {
#ifndef judge
  freopen("in.txt", "r", stdin);
  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
  scanf("%d%d", &n, &q);
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
  }
  for (int i = 0; i < q; i++) {
    scanf("%d", &k);
    int l = 0, r = n - 1;
    while (l < r) {
      int mid = l + r >> 1;
      if (a[mid] >= k) {
        r = mid;  //第二种情况 找绿色区间的左端点
      } else {
        l = mid + 1;
      }
    }
    if (a[l] != k) {
      printf("-1 -1\n");
    } else {
      printf("%d ", l);
      l = 0, r = n - 1;
      while (l < r) {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (a[mid] <= k) {//第一种情况 找红色区间的右端点
          l = mid;
        } else {
          r = mid - 1;
        }
      }
      printf("%d\n",l);
    }
  }
  return 0;
}