一、相关函数应用场景

求下面信号的 " 自相关函数 " :

$$x(n)=\sin (2\pi fn)+N(n)$$

其中 $N(n)$ 为 高斯白噪声 ;

高斯白噪声 符合 正态分布 特性 , 其 均值为 $0$ , 方差为 $1$ , 其功率谱密度是白的 , 在所有的频率上 , 其功率都相同 ;

令

$$s(n)=\sin (2\pi fn)$$

则有

$$x(n)=s(n)+N(n)$$

自相关函数 公式为 :

$$r_x(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)x(n+m)$$

代入 $x(n)=s(n)+N(n)$ , 求该信号的自相关函数 , 由于都是 实型号 , 不存在共轭 , 式子变为 :

$$r_x(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[s(n)+N(n)][s(n+m)+N(n+m)]$$

展开式子 :

$$r_x(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[s(n)s(n+m)+N(n)s(n+m)+s(n)N(n+m)+N(n)N(n+m)]$$

进一步将加和符号展开 :

$$r_x(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }s(n)s(n+m)+\sum _{n=-\infty }^{+\infty }N(n)s(n+m)+\sum _{n=-\infty }^{+\infty }s(n)N(n+m)+\sum _{n=-\infty }^{+\infty }N(n)N(n+m)$$

其中 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }s(n)s(n+m)=r_s(m)$$

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }N(n)s(n+m)=r_{Ns}(m)$$

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }s(n)N(n+m)=r_{sN}(m)$$

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }N(n)N(n+m)=r_N(m)$$

最终得到结果 :

$$r_x(m)=r_s(m)+r_{Ns}(m)+r_{sN}(m)+r_N(m)$$

$r_{Ns}(m)\approx 0$ , $r_{sN}(m)\approx 0$ , $r_N(m)=白噪声方差$ ;

因此有 $r_x(m)=r_s(m)+r_N(m)$ ;

由于 高斯白噪声是随机的 ,

噪声信号 是 功率信号 , 在 $m=0$ 时 , 是完全相关的 , 相关函数值就是功率值 ,

但是只要 $m$ 不为 $0$ , 噪声信号错开了一点 , 那就是完全不相关了 ,

自相关函数 与 功率谱密度 是一对 傅里叶变换对 , 如果自相关函数具备该特点 ,

在 $m=0$ 时 , 相当于 $\delta (n)$ 信号 , $\delta (n)$ 信号的傅里叶变换为 $1$ , 其在所有的频率上其 功率密度函数 都是 $1$ , 在所有的频率上都是有功率分布的 ;

在噪声中检测信号 ,

$r_N(m)$ 只有在 $m=0$ 时有值 ,

一旦 $m$ 增加或减小 ( 绝对值增加 ) , 该 $r_N(m)$ 值会趋于 $0$ ,

剩下的那个就可以检测出来了 ;

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