一、自相关函数 示例

给定一个 " 周期函数 " :

$$x(n)=A\sin (\omega n)$$

其中 $\omega =\frac{2\pi }{N}$ , 求该 " 周期函数 " 的 " 自相关函数 "

$$r_x(m)$$

" 周期信号 " 的 自相关函数 公式 :

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{x}^{\ast }(n)x(n+m)$$

参考 【数字信号处理】相关函数 ( 周期信号 | 周期信号的自相关函数 ) 博客 ;

该信号是 " 实信号 " , 不是 " 复信号 " , 不需要使用共轭 ${}^{\ast }$ ;

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)x(n+m)$$

将

$$x(n)=A\sin (\omega n)$$

代入到上面的式子中 ;

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}[A\sin (\omega n)][A\sin (\omega (n+m))]$$

展开式子 , 计算得到 :

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{A}^2\sin (\omega n)\sin (\omega n+\omega m)$$

使用 三角函数 和差化积 公式 , 参考 百度百科 https://baike.baidu.com/item/和差化积/6973039 ;

$$r_x(m)=\frac{A^2}{N}\cos \omega m\sum _{n=0}^{N-1}{\sin }^2\omega n+\frac{A^2}{N}\sin \omega m\sum _{n=0}^{N-1}\sin \omega n\cos \omega n$$

下面的式子

$$\sum _{n=0}^{N-1}\sin \omega n\cos \omega n=0$$

值为 $0$ ,

当 $n=0$ 时 , $\sin \omega n\cos \omega n=0$ ;

当 $n=1$ 时 , 与 $n=N-1$ 时 , 抵消了 ;

当 $n=2$ 时 , 与 $n=N-2$ 时 , 抵消了 ;

则最终结果为 0 , 则有 :

$$\frac{A^2}{N}\sin \omega m\sum _{n=0}^{N-1}\sin \omega n\cos \omega n=0$$

当前的推导相关函数为 :

$$r_x(m)=\frac{A^2}{N}\cos \omega m\sum _{n=0}^{N-1}{\sin }^2\omega n$$

根据 三角函数公式 :

$${\sin }^2\alpha =\frac{(1-\cos 2\alpha )}{2}$$

可得 :

$${\sin }^2\omega n=\frac{(1-\cos 2\omega n)}{2}$$

带入到相关函数中 , 可得 :

$$r_x(m)=\frac{A^2}{N}\cos \omega m\sum _{n=0}^{N-1}\frac{1}{2}(1-\cos 2\omega n)$$

下面的式子

$$\sum _{n=0}^{N-1}\cos 2\omega n=0$$

值为 $0$ ,

则最终结果为 :

$$r_x(m)=\frac{A^2}{2}\cos \omega m$$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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