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目录

一、题目描述

二、测试样例

2.1 测试样例一

2.2 测试样例二

2.3 测试样例三

三、算法思路

四、代码实现

五、复杂度分析

5.1 时间复杂度

5.2 空间复杂度

六、总结

背包算法是经常考查的一类算法，下面来看一道完全背包问题。

一、题目描述

给定一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。 计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。 你可以认为每种硬币的数量是无限的。

提示：

1 <= coins.length <= 12

1 <= coins[i] <= 2^31 - 1

0 <= amount <= 10^4

二、测试样例

2.1 测试样例一

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11

输出：3

说明：总金额 11 可以由 5 + 5 + 1 组合得到，一共使用了三个硬币。

2.2 测试样例二

输入：coins = [2], amount = 3

输出：-1

说明：在输入中，无论如何 2 都无法得到 3，所以输出 -1。

2.3 测试样例三

输入：coins = [1], amount = 0

输出：0

说明：在输入中，不需要硬币即可得到 0，所以输出 0。

三、算法思路

本题主要考查完全背包算法，可以把硬币看作物品，amount 看作背包容量，本题中的每类物品是无限的，所以是完全背包，但是，本题求解的是最少硬币数，这一点需要特殊处理一下。

使用 dp 数组存储最优解，dp[ i ] 表示背包容量为 i 的时候装满背包需要的最少硬币数，最后的结果即为 dp[ amount ]。

当然，需要注意无法组成 amount 的情况。 

四、代码实现

代码实现如下所示：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        if(!amount) return amount;
        int dp[amount + 5];
        memset(dp, -1, sizeof(dp));
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i < (int)coins.size(); ++i) {
            for(int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {
                if(dp[j-coins[i]] == -1) continue;
                if(dp[j] == -1) {
                    dp[j] = dp[j-coins[i]] + 1;
                } else {
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[amount] == 0 ? -1 : dp[amount];
    }
};

int main()
{
    int a[] = {1, 2, 5};
    vector<int>coins(a, a + 3);

    Solution obj;
    cout<<obj.coinChange(coins, 11)<<endl;
    return 0;
}

​

五、复杂度分析

5.1 时间复杂度

时间复杂度为：O(nm)，其中，n 为硬币个数，m 为 amount，在上述算法中，使用到了两个 for 循环，长度分别为 n 和 m，所以时间复杂度为 O(nm)。

5.2 空间复杂度

空间复杂度为：O(m)，其中，m 为 amount，在上述算法中，使用 dp 数组存储最优解，所以空间复杂度为 O(m)。

六、总结

 本题主要考查对完全背包的理解，同时，也要处理最少硬币数，和完全背包有一些差异。

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