线性代数的本质-学习笔记2

03 矩阵与线性变换

变换，本质上是函数，“变换”这个词在暗示你用运动区思考。

线性变换满足两点：1.直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲。（不仅仅指横、竖的网格，还有对角线）2.原点保持固定。

总的来说，应该把线性变换看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换。

如何用数值描述线性变换？

实际结果是，你只需要记录两个基向量i帽和j帽变换后的位置，其他向量都会随之而动。

我们完全可以把矩阵的列看作变换后的基向量，把矩阵向量乘法看作它们的线性组合。

矩阵的“逆时针90°旋转”、“剪切/错切”。

如果变换后的i帽和j帽是线性相关的，即一个列相性相关矩阵，那么这个线性变换将整个二维空间挤压到它们所在的一条直线上，也就是这两个线性相关向量所张成的一维空间。

总之，线性变换是操纵空间的一种手段，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动。令人高兴的是，这种变换只需要几个数字就能描述清楚，这些数字就是变换后基向量的坐标。以这些坐标为列所构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换的语言。而矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径。这里重要的一点是， 每当你看到一个矩阵时，你都可以把它解读为对空间的一种特定变换。一旦真正消化了这些内容，你就在深刻理解线性代数上占据了极佳的位置。

当你将矩阵看作空间的变换之后，此后几乎所有主题，从矩阵乘法，到行列式、基变换、特征值等都会更加容易理解。

04 矩阵乘法与线性变换复合

旋转与剪切的复合变换。

两个矩阵相乘的几何意义，就是两个线性变换相继作用。

这个乘积需要从右向左读，首先应用右侧矩阵所描述的变换，然后再应用左侧矩阵所描述的变换，它起源于函数的记号，因为你我们将函数写在变量左侧，所以每次将两个函数复合是，你总是要从右向左读。这对希伯来读者是好消息，对其他人则是坏消息。

矩阵相乘的结果受顺序影响嘛？MN≠NM。思考几何意义：旋转-剪切，剪切-旋转，两者的总体效应明显是不同的，所以乘积顺序明显会受到影响。注意，我们是在用变换思考，而没有进行数值运算，这一过程可以在头脑中形象的进行。

附注1：三维空间中的线性变换。

05 行列式

定量描述线性变换。二维---面积缩放比例。

这个特殊的缩放比例，即线性变换改变面积的比例，被称为这个变换的行列式。

比如，一个线性变换的行列式是3，就是说它将一个区域的面积增加为原来的3倍。

一个线性变换的行列式是0.5，就是说它将一个区域的面积压缩一半。

一个线性变换的行列式是0，就是说它将整个平面压缩到一条线，甚至是一个点上。因为此时任何区域的面积都变成了0.

最后这个例子很重要。就是说，只需要检验一个矩阵的行列式是否为0，我们就能了解这个矩阵所代表的的变换是否将空间压缩到更小的维度上。

行列式为负值，感觉上像是将空间翻转了，我们称类似这样的变换改变了空间的定向。另一个角度，变换之前，i帽在j帽的右侧，变换之后，j帽在i帽的右侧，那么空间定向就发生了改变。但是行列式的绝对值依然表示区域面积的缩放比例。

空间翻转，行列式为负值，是一件很自然的事情。

三维行列式---体积的缩放变换。

行列式为0则意味着整个空间被压缩为零体积的东西，也就是一个平面或一条直线，或者更极端情况下，一个点。

三维行列式的负值意味着什么呢？有一种方法描述三维空间的定向，“右手法则”。如果变换后，从右手换到了左手表示，说明定向发生了改变，行列式为负。

06 逆矩阵、列空间与零空间

矩阵的用途--求解线性方程组。

经过变换、逆变换回到原始状态，A逆乘以A等于一个“什么都不做”的矩阵，这种变换称为恒等变换，它保持i帽和j帽不变，所以它的列就是（1,0）和（0,1）。

若A的行列式不为零，则存在唯一的逆矩阵。

即便不存在逆变换，解仍然可能存在。比如说，一个变换将空间压缩为一条直线，你得足够幸运，让向量V恰好处于这条直线上。

秩，代表着变换后空间的维数。

当变换的结果为一条直线时，也就是说结果是一维的，我们称这个变换的秩为1；如果变换后的向量落在某个二维平面上，我们称这个变换的秩为2。对于2x2的矩阵，它的秩最大为2，意味着基向量仍旧能张成整个二维空间，并且矩阵的行列式不为零。但是对于3x3的矩阵，秩为2意味着空间被压缩了，但是和秩为1的情况相比，压缩并不是那么严重。

不管是一条直线，一个平面还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合，被称为矩阵的“列空间”。

矩阵的列告诉你基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果，换句话说，列空间就是矩阵的列张成的空间，所以更精确的秩的定义是列空间的维数。当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，称为“满秩”。注意，零向量一定会被包含在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变。对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身，但是对于一个非满秩的矩阵来说，它将空间压缩到一个更低的维度上，也就是说会有一系列向量在变换后成为零向量。举个例子，如果一个二维线性变换将空间压缩到一条直线上，那么沿某个不同方向直线上的所有向量就被压缩到原点。

变换后落在原点的向量的集合，称为矩阵的“零空间 ”或“核”，变换后一些向量落在零向量上，而“零空间”正是这些向量所构成的空间。对线性方程组来说，当向量V恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程组所有可能的解。

附注2 非方阵

2x2矩阵表示二维向量到二维向量的变换， 3 x3矩阵表示三维向量到三维向量的变换。

讨论不同维数之间的变换是完全合理的。

3x2的矩阵，几何意义是将二维空间映射到三维空间上。矩阵有两列表明输入空间有两个基向量， 有三行表示每一个基向量在变换后都用三个独立的坐标来描述。这个矩阵的列空间是三维空间中一个过原点的二维平面。但这个矩阵依然满秩，因为列空间的维数与输入空间的维数相等。

类似地，2x3的矩阵，矩阵有三列表明原始空间有三个基向量，也就是说原始空间是三维的，有两行表明这三个基向量在变换后都仅用两个坐标来描述，所以它们一定落在二维空间中，因此是三维空间到二维空间的变换。

1x2是二维到一维的变换，这实际上是一类非常有意义的变换，它与点积紧密相关。