推导 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理 | 左边序列概念 | 推理 ) 一、线性卷积起点定理 章节中的 " 线性卷积起点定理 " ;

一、线性卷积起点定理推导过程

先考虑 $x(n)$ 和 $y(n)$ 是 右边序列 的情况 ;

$$g(n)=x(n)\ast y(n)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x(i)y(n-i)$$

右边序列 $x(i)$ 是 从某个点 $N_1$ 开始有值 , 如果 $i\le N_1$ 时 , $x(i)$ 值都为 $0$ , 因此 ${\sum }_{i=-\infty }^{+\infty }x(i)y(n-i)$ 式子计算时 , 可以不用从 $i=-\infty$ 开始累加 , 从 $i=N_1$ 开始累加即可 ;

$$g(n)=x(n)\ast y(n)=\sum _{i=N_1}^{+\infty }x(i)y(n-i)$$

右边序列 $y(n-i)$ 是从某个点 $N_2$ 开始有值 , $n-i$ 一定是大于等于 $N_2$ 时 , 才有值

$n-i\ge N_2$
$i\le n-N_2$

因此 , 这里 $i$ 的取值不用到 $+\infty$ , 最高取值 $n-N_2$ 即可 ;

$$g(n)=x(n)\ast y(n)=\sum _{i=N_1}^{n-N_2}x(i)y(n-i)$$

如果 $n-N_2<N_1$ , 即 $n<N_1+N_2$ , 则有 $i<N_1$ , 此时

$$\sum _{i=-N_1}^{n-N_2}x(i)y(n-i)$$

计算结果为 $0$ , 只有在 $$n-N_2\ge N_1$$ 时 , 即 $$n\ge N_1+N_2$$ 时 ,

$$g(n)=x(n)\ast y(n)=\sum _{i=N_1}^{n-N_2}x(i)y(n-i)$$

才有意义 ;

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