一、周期延拓示例

给定有限序列 :

$$x(n)=\{3,4,5,6,7{\}}_{[-1,3]}$$

该 有限序列 不是 " 典型有限序列 " , 其 范围是 $-1$ ~ $3$ , 不是从 $0$ 开始的 ;

以 周期 $L=3$ 将该 非周期序列 进行 周期延拓 操作 , 变为 周期序列 ;

周期延拓 公式如下 :

$$\tilde{x}(n)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x(n-iL)$$

引入 组织序列 :

将 非周期序列 通过 周期延拓 , 转成的 周期序列 中 , 有无限个周期 , 这里不需要逐个平移 , 只要写出该 周期序列 的公式即可 , 只需要关心 组织序列 即可 ;

在公式 $\tilde{x}(n)={\sum }_{i=-\infty }^{+\infty }x(n-iL)$ 中 , $i$ 的取值是 $\{0,1,2\}$ 时 , 对组织序列有贡献 , 周期是 $3$ , 则组织序列是 $0$ ~ $2$ ;

周期 $L=3$ , 平移序列时 , $i$ 的取值只需要 $\{0,1,2\}$ 这 $3$ 个值即可 , 也就是

• ① $i=0$ 时 , $x(n-iL)=x(n)$
• ② $i=1$ 时 , $x(n-iL)=x(n-L)=x(n-3)$
• ③ $i=2$ 时 , $x(n-iL)=x(n-2L)=x(n-6)$

因此 , 这里只需要考虑 $x(n)$ , $x(n-3)$ , $x(n-6)$ 这 $3$ 种情况 ;

最终 $L=3$ 时 , 周期延拓 结果是 $$\tilde{x}(n)=\{11,5,9\}$$

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