一、周期序列定义

周期序列定义 : $x(n)$ 满足
$$x(n)=x(n+N)-\infty <n<+\infty$$

条件 , 并且 $N$ 是满足上述条件的 最小整数 , $x(n)$ 可以被称为 以 $N$ 为周期 的 周期序列 ;

周期序列可以表示为 : $$\tilde{x}(n)$$

这里特别注意 , 周期 $N$ 是一个 " 整数 " , 没有单位 , 不是时间单位 , 这是因为 采样间隔不确定 , 其量级可能是纳秒、微秒、毫秒、秒、年等单位 ;

傅里叶级数变换时 , 其 频谱 是 离散的 , 其 时域 是 周期的 ;

连续 非周期 的 傅里叶变换 也是 连续 非周期的 ;

频域 与 时域 存在一个对偶关系 :

• 时域 是 周期的 , 频域 是 离散的
• 时域 是 离散的 , 频域 是 周期的

二、周期序列示例

给定周期序列 :

$$\tilde{x}(n)=\sin (\frac{\pi n}{4})$$

有 $2$ 个条件是已知条件 :

① 正弦函数周期 : $\sin$ 正弦函数 的周期是 $2\pi$ ;

$$sin(\varphi )=sin(\varphi +2k\pi )$$

代入到周期序列中 :

$$\tilde{x}(n)=sin(\frac{\pi n}{4})=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

② 周期序列特性 : 上述序列是 周期序列 , 一定满足 $x(n)=x(n+N)-\infty <n<+\infty$ 条件 ;

代入到周期序列中 : 使用 $n+N$ 替换 $n$ ;

$$\tilde{x}(n)=sin(\frac{\pi n}{4})=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

$$\tilde{x}(n)=sin(\frac{\pi }{4}(n+N))=sin(\frac{\pi n}{4}+2k\pi )$$

直接对比 $\sin$ 函数中的参数 :

$$\frac{\pi }{4}(n+N)=\frac{\pi }{4}(n)+2k\pi$$

$$\frac{\pi }{4}n+\frac{\pi }{4}N=\frac{\pi }{4}(n)+2k\pi$$

$$\frac{\pi }{4}N=2k\pi$$

$$N=8k$$

最小周期为 $N=8,k=1$

其含义是 $1$ 个 $\sin$ 模拟周期 内采集了 $8$ 个样本 ;

计算 $k$ 的值 :

数字角频率 $\omega$ ( 单位 : 弧度 ) 与 模拟角频率 $\Omega$ ( 单位 : 弧度/秒 ) 关系如下 :

$$\omega =\Omega T$$

其中 , $T$ 是采样周期 , 单位是 秒 ;

$\omega =\frac{\pi }{4}$ ,

$\Omega =2\pi f_0$ , 其中 $f_0$ 是模拟频率 , 没有单位 ,

$f_0=\frac{T}{T_0}$ , 其中 $T_0$ 是模拟信号 周期 , 这里是 $2\pi$ ;

将上述内容代入公式 :

$$\omega =\frac{\pi }{4}=\Omega T=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$\frac{\pi }{4}=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$8T=T_0$$

也就是说 在一个 模拟采样 周期中 , 至少要采集 $8$ 个样本 ;

下图的 $\sin$ 函数中的一个周期内 , 采集了 $8$ 个样本 ;

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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