一、周期延拓

非周期的信号 通过 周期延拓 可以变为 周期信号 ;

周期延拓 : 非周期序列 构成 周期序列 的过程 ;

非周期序列

$$x(n)[0,N-1]$$

非周期序列图示 :

以 $L$ 为周期 , 进行 周期延拓 , 则有 :

$$\tilde{x}(n)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x(n-iL)$$

就是将 长度为 $N$ 的有限序列 进行 平移 , 向 坐标横轴 的各处平移 , 每次平移至少要 $L$ 的整数倍 ;

很容易就可以想到 , 如果 $L$ 比序列的个数 $N$ 大 , 则序列之间的值不会重叠 , 如果 $L$ 比序列的个数 $N$ 小 , 平移后可能出现序列重叠的情况 ;

二、周期延拓分两种情况

周期延拓分两种情况 :

情况一 : 当 $L\ge N$ 时 , 有 $\tilde{x}(n)=\tilde{x}(n)R_N(n)$ ;

这种情况下的 周期延拓 可以恢复成原来的 非周期序列 ;

情况二 : 当 $L\le N$ 时 , 有 $\tilde{x}(n)\ne \tilde{x}(n)R_N(n)$

这种情况下的 周期延拓 无法恢复成原来的 非周期序列 ;

该情况下 , 最终平移完成的信号中 , 有 序列元素重叠 情况 , 重叠的元素需要进行 加和操作 , 二者相加后 , 得到绿色的线就是最终的 周期延拓 后的结果 , 显然该序列 无法恢复成原来的非周期序列 ;

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