简 介： 对于一道题目的引申讨论：半波整流后的电压会在灯泡上产生多大的功率？在精确的计算后面，最好能够给出物理概念清楚、计算方法巧妙的内容。

关键词： 灯泡，功率，白炽灯

§01 半波整流

1.1 问题内容

  在面包板社区 中的一篇博文： 号称能“炸出各种半瓶子晃荡的人"的电路题 介绍了一个电路问题：

一个额定电压为交流220V/50Hz、额定功率为100W的白炽灯与一个整流二极管串联，再连接至220V交流市电，如果忽略二极管的压降以及灯丝随温度改变而发生的变化，则白炽灯的实际功率是多少？

A：100W   B: 50W   C: 25W   D: 20.25W。

  根据题目中的假设，正确的答案应该是 B：50W 。

1.2 问题分析

  如果是从物理概念上来求解这个问题，则从电压信号的功率定义上理解。功率反映了电压信号在负载上的做功速率。这里的做功就是输出的电能。速率表示单位时间内的做功多少。

  对于属于周期信号的交流电，它的功率 $P$ 可以由一个周期内输出电能 $E_T$ 除以周期时间 $T$ 获得：$$P=\frac{E_T}{T}$$

  根据本题给出的条件，理想二极管整流后的半波正弦波在理想灯泡（等价为恒定电阻）输出功率，由于在同样周期内输出电能减少了一半（根据正弦波的对称性）所以功率也减少为原来的一半，即50W。

  一个正弦电压信号可以由其三要素来决定：幅值 $U_P$ 、频率 $f_0$ 和相位 $\theta$ 。其中幅值决定了电压输出功率。如果负载是电阻，我们把能够产生相同功率的直流电压所对应的数值 $U_{RMS}$ 为交流信号的有效值，经过简单数学推导可以知道：$$U_{RMS}=\frac{1}{\sqrt{2}}{U}_P$$

  对于峰值为 $U_P$ 的半波交流信号所对应的有效值，根据前面分析应该是： $U_{RR}=0.5U_P$ 。

§02 新的问题

  一个好的提问，往往会引起更多的联想。

2.1 真实电灯功率是多少？

  前面的问题中假设了电灯是理想的，也就是它的阻值不随着输出功率变化而改变。我们知道这实际上不符合实际上电灯的物理特性。

  在 测量6J1电子管的一些基本特性 测试了电子管阴极加热灯丝电阻的变化，室温时对应电阻为 5.6Ω，施加额定直流电压（6.3V）之后，对应电阻为36.7Ω。显示了灯丝随着温度增加而增加的特点。

  在 How hot does a tungsten filament get in a lightbulb? 文章中给出了普通的白炽灯泡钨丝的温度达到2500 ~ 3300 ℃左右。

  在 Resistivity of tungsten as a function of temperature 中给出了不同温度下，钨灯丝电阻率的变化拟合函数。下图摘录自该文档，可以看到在很大的温度范围内，钨的电阻率与温度之间呈现线性关系。

  因此上，如果将灯泡的电子特性作如下假设：

• 灯丝的电阻与灯丝的绝对温度呈线性关系；
• 灯丝的温度与施加功率成线性关系；
• 灯丝温度在交流电一个周期内保持恒定；

  那么，上面的问题就变成：交流电半波整流后施加在灯泡上，所得到的功率是多少？

2.2 灯泡的基本物理

  Dan Maclsaac, Gary Kanner等在 Basic Physics of the Incandescent Lamp(Lightbulb) 这篇发表于1999年12月份的文章给出了白炽灯泡的基本物理特性说明，丰富的资料和

  这篇文章值得深入读一读。

※ 小  结 ※

  对于一道题目的引申讨论：半波整流后的电压会在灯泡上产生多大的功率？在精确的计算后面，最好能够给出物理概念清楚、计算方法巧妙的内容。

■ 相关文献链接:

• 号称能“炸出各种半瓶子晃荡的人"的电路题
• 测量6J1电子管的一些基本特性
• How hot does a tungsten filament get in a lightbulb?
• Resistivity of tungsten as a function of temperature
• Basic Physics of the Incandescent Lamp(Lightbulb)

● 相关图表链接:

• 图1.1 半波整流电压信号的功率输出
• 图1.2.1 周期信号的功率可以由一个周期内的信号能量除以信号周期获得
• 图2.1.1 灯泡里面的钨丝电子显微镜图像
• 图2.1.2 金属钨的电阻率随着温度变化拟合参数
• 图2.2.1 Basic Physics of the Incandescent Lamp 以及作者
• 图2.2.2 这个谜语的谜底： A joke

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