【数据结构与算法】之深入解析“不同的二叉搜索树”的求解思路与算法示例

一、题目要求

• 给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的二叉搜索树有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
• 示例 1：

输入：n = 3
输出：5

  

 

  
1
  
2
 

• 示例 2：

输入：n = 1
输出：1

  

 

  
1
  
2
 

二、求解算法

① 动态规划

• 思路：
• • 给定一个有序序列 1⋯n，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，将 1⋯(i−1) 序列作为左子树，将 (i+1)⋯n 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。
• • 在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。
• • 由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。
• 算法：
• • 题目要求是计算不同二叉搜索树的个数。为此，可以定义两个函数：
• • • G(n): 长度为 n 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
• • • F(i,n): 以 i 为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数 (1≤i≤n)。
• • 可见，G(n) 是求解需要的函数。
• • 稍后我们将看到，G(n) 可以从 F(i,n) 得到，而 F(i,n) 又会递归地依赖于 G(n)。
• • 首先，根据上一节中的思路，不同的二叉搜索树的总数 G(n)，是对遍历所有 (1≤i≤n) 的 F(i,n) 之和。换言之：

• • 对于边界情况，当序列长度为 1（只有根）或为 0（空树）时，只有一种情况，即：

• • 给定序列 1⋯n，我们选择数字 i 作为根，则根为 i 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树，如下图所示：

• • 举例而言，创建以 3 为根、长度为 7 的不同二叉搜索树，整个序列是 [1,2,3,4,5,6,7]，需要从左子序列 [1,2] 构建左子树，从右子序列 [4,5,6,7] 构建右子树，然后将它们组合（即笛卡尔积）。
• • 对于这个例子，不同二叉搜索树的个数为 F(3,7)，将 [1,2] 构建不同左子树的数量表示为 G(2), 从 [4,5,6,7] 构建不同右子树的数量表示为 G(4)，注意到 G(n) 和序列的内容无关，只和序列的长度有关。于是，F(3,7)=G(2)⋅G(4)。 因此，可以得到以下公式：

• • 将公式 (1)，(2) 结合，可以得到 G(n) 的递归表达式：

• • 至此，从小到大计算 G 函数即可，因为 G(n) 的值依赖于 G(0)⋯G(n−1)。
• C++ 示例：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> G(n + 1, 0);
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
};

  

 

  
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15
 

• Java 示例：

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}

  

 

  
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• 复杂度分析
• • 时间复杂度 : O(n²)，其中 n 表示二叉搜索树的节点个数。G(n) 函数一共有 n 个值需要求解，每次求解需要 O(n) 的时间复杂度，因此总时间复杂度为 O(n²)。
• • 空间复杂度 : O(n)，需要 O(n) 的空间存储 G 数组。

② 数学的思路与算法

• 上面的方法中推导出的 G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数 Cn。卡塔兰数更便于计算的定义如下:

• C++ 示例：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int)C;
    }
};

  

 

  
1
  
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• Java 示例：

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        // 需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}

  

 

  
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• 复杂度分析：
• • 时间复杂度 : O(n)，其中 n 表示二叉搜索树的节点个数，只需要循环遍历一次即可。
• • 空间复杂度 : O(1)，只需要常数空间存放若干变量。

三、博客之星助力

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