【数据结构与算法】之深入解析“三数之和”的求解思路与算法示例
【摘要】
一、题目要求
给你一个包含 n 个整数的数组 nums，判断 nums 中是否存在三个元素 a，b，c ，使得 a + b + c = 0 ？请你找出所有和为 0 且不重复的三元组。注意：答案中不可以包...
一、题目要求
- 给你一个包含 n 个整数的数组 nums，判断 nums 中是否存在三个元素 a，b，c ，使得 a + b + c = 0 ？请你找出所有和为 0 且不重复的三元组。
- 注意：答案中不可以包含重复的三元组。
- 示例 1：
输入：nums = [-1,0,1,2,-1,-4]
输出：[[-1,-1,2],[-1,0,1]]
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- 示例 2：
输入：nums = []
输出：[]
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- 示例 3：
输入：nums = [0]
输出：[]
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- 提示：
-
- 0 <= nums.length <= 3000；
-
- -105 <= nums[i] <= 105。
二、求解算法
① 快速排序
- 先将数组进行排序；
- 从左侧开始，选定一个值为定值 ，右侧进行求解，获取与其相加为 0 的两个值；
- 类似于快排，定义首和尾；
- 首尾与定值相加：
-
- 等于 0，记录这三个值；
-
- 小于 0，首部右移；
-
- 大于 0，尾部左移；
- 定值右移，重复该步骤。
- Java 示例：
var threeSum = function(nums) {
// 最左侧值为定值，右侧所有值进行两边推进计算
let res = [];
nums.sort((a, b) => a - b);
let size = nums.length;
if (nums[0] <= 0 && nums[size - 1] >= 0) {
// 保证有正数负数
let i = 0;
while (i < size - 2) {
if (nums[i] > 0) break; // 最左侧大于0，无解
let first = i + 1;
let last = size - 1;
while (first < last) {
if (nums[i] * nums[last] > 0) break; // 三数同符号，无解
let sum = nums[i] + nums[first] + nums[last];
if (sum === 0) {
res.push([nums[i], nums[first], nums[last]]);
}
if (sum <= 0) {
// 负数过小，first右移
while (nums[first] === nums[++first]) {} // 重复值跳过
} else {
while (nums[last] === nums[--last]) {} // 重复值跳过
}
}
while (nums[i] === nums[++i]) {}
}
}
return res;
};
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② 排序 + 双指针
- 题目中要求找到所有「不重复」且和为 0 的三元组，这个「不重复」的要求使得无法简单地使用三重循环枚举所有的三元组。这是因为在最坏的情况下，数组中的元素全部为 0，即：
[0, 0, 0, 0, 0, ..., 0, 0, 0]
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- 任意一个三元组的和都为 0，如果直接使用三重循环枚举三元组，会得到 O(N3) 个满足题目要求的三元组（其中 N 是数组的长度）时间复杂度至少为 O(N3)。在这之后，还需要使用哈希表进行去重操作，得到不包含重复三元组的最终答案，又消耗了大量的空间。这个做法的时间复杂度和空间复杂度都很高，因此要换一种思路来考虑这个问题。
- 「不重复」的本质是什么？我们保持三重循环的大框架不变，只需要保证：
-
- 第二重循环枚举到的元素不小于当前第一重循环枚举到的元素；
-
- 第三重循环枚举到的元素不小于当前第二重循环枚举到的元素。
- 也就是说，枚举的三元组 (a,b,c) 满足 a≤b≤c，保证了只有 (a,b,c) 这个顺序会被枚举到，而 (b,a,c)、(c,b,a) 等这些不会，这样就减少了重复。要实现这一点，可以将数组中的元素从小到大进行排序，随后使用普通的三重循环就可以满足上面的要求。
- 同时，对于每一重循环而言，相邻两次枚举的元素不能相同，否则也会造成重复。举个例子，如果排完序的数组为：
[0, 1, 2, 2, 2, 3]
^ ^ ^
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- 使用三重循环枚举到的第一个三元组为 (0,1,2)，如果第三重循环继续枚举下一个元素，那么仍然是三元组 (0,1,2)，产生了重复。因此需要将第三重循环「跳到」下一个不相同的元素，即数组中的最后一个元素 3，枚举三元组 (0,1,3)。
- 下面给出了改进的方法的伪代码实现：
nums.sort()
for first = 0 .. n-1
// 只有和上一次枚举的元素不相同，才会进行枚举
if first == 0 or nums[first] != nums[first-1] then
for second = first+1 .. n-1
if second == first+1 or nums[second] != nums[second-1] then
for third = second+1 .. n-1
if third == second+1 or nums[third] != nums[third-1] then
// 判断是否有 a+b+c==0
check(first, second, third)
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- 这种方法的时间复杂度仍然为 O(N3)，毕竟还是没有跳出三重循环的大框架。然而它是很容易继续优化的，可以发现，如果我们固定了前两重循环枚举到的元素 a 和 b，那么只有唯一的 c 满足 a+b+c=0。当第二重循环往后枚举一个元素 b′ 时，由于 b′ >b，那么满足 a + b′ +c′ = 0 的 c′ 一定有 c′ < c，即 c′ 在数组中一定出现在 c 的左侧。也就是说，可以从小到大枚举 b，同时从大到小枚举 c，即第二重循环和第三重循环实际上是并列的关系。
- 有了这样的发现，就可以保持第二重循环不变，而将第三重循环变成一个从数组最右端开始向左移动的指针，从而得到下面的伪代码：
nums.sort()
for first = 0 .. n-1
if first == 0 or nums[first] != nums[first-1] then
// 第三重循环对应的指针
third = n-1
for second = first+1 .. n-1
if second == first+1 or nums[second] != nums[second-1] then
// 向左移动指针，直到 a+b+c 不大于 0
while nums[first]+nums[second]+nums[third] > 0
third = third-1
// 判断是否有 a+b+c==0
check(first, second, third)
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- 这个方法就是常说的「双指针」，当我们需要枚举数组中的两个元素时，如果发现随着第一个元素的递增，第二个元素是递减的，那么就可以使用双指针的方法，将枚举的时间复杂度从 O(N2) 减少至 O(N)。为什么是 O(N)呢？这是因为在枚举的过程每一步中，「左指针」会向右移动一个位置（也就是题目中的 b），而「右指针」会向左移动若干个位置，这个与数组的元素有关，但我们知道它一共会移动的位置数为 O(N)，均摊下来，每次也向左移动一个位置，因此时间复杂度为 O(N)。
- 注意到我们的伪代码中还有第一重循环，时间复杂度为 O(N)，因此枚举的总时间复杂度为 O(N2)。由于排序的时间复杂度为 O(N logN)，在渐进意义下小于前者，因此算法的总时间复杂度为 O(N2)。
- C++ 示例：
class Solution {
public:
vector<vector<int>> threeSum(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
sort(nums.begin(), nums.end());
vector<vector<int>> ans;
// 枚举 a
for (int first = 0; first < n; ++first) {
// 需要和上一次枚举的数不相同
if (first > 0 && nums[first] == nums[first - 1]) {
continue;
}
// c 对应的指针初始指向数组的最右端
int third = n - 1;
int target = -nums[first];
// 枚举 b
for (int second = first + 1; second < n; ++second) {
// 需要和上一次枚举的数不相同
if (second > first + 1 && nums[second] == nums[second - 1]) {
continue;
}
// 需要保证 b 的指针在 c 的指针的左侧
while (second < third && nums[second] + nums[third] > target) {
--third;
}
// 如果指针重合，随着 b 后续的增加
// 就不会有满足 a+b+c=0 并且 b<c 的 c 了，可以退出循环
if (second == third) {
break;
}
if (nums[second] + nums[third] == target) {
ans.push_back({nums[first], nums[second], nums[third]});
}
}
}
return ans;
}
};
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- Java 示例：
class Solution {
public List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
int n = nums.length;
Arrays.sort(nums);
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<List<Integer>>();
// 枚举 a
for (int first = 0; first < n; ++first) {
// 需要和上一次枚举的数不相同
if (first > 0 && nums[first] == nums[first - 1]) {
continue;
}
// c 对应的指针初始指向数组的最右端
int third = n - 1;
int target = -nums[first];
// 枚举 b
for (int second = first + 1; second < n; ++second) {
// 需要和上一次枚举的数不相同
if (second > first + 1 && nums[second] == nums[second - 1]) {
continue;
}
// 需要保证 b 的指针在 c 的指针的左侧
while (second < third && nums[second] + nums[third] > target) {
--third;
}
// 如果指针重合，随着 b 后续的增加
// 就不会有满足 a+b+c=0 并且 b<c 的 c 了，可以退出循环
if (second == third) {
break;
}
if (nums[second] + nums[third] == target) {
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
list.add(nums[first]);
list.add(nums[second]);
list.add(nums[third]);
ans.add(list);
}
}
}
return ans;
}
}
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- 复杂度分析：
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- 时间复杂度：O(N2)，其中 N 是数组 nums 的长度。
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- 空间复杂度：O(logN)。忽略存储答案的空间，额外的排序的空间复杂度为 O(logN)。然而修改了输入的数组 nums，在实际情况下不一定允许，因此也可以看成使用了一个额外的数组存储了 nums 的副本并进行排序，空间复杂度为 O(N)。
文章来源: blog.csdn.net，作者：Serendipity·y，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。
原文链接：blog.csdn.net/Forever_wj/article/details/122500748
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