【数据结构与算法】之深入解析“整数转罗马数字”的求解思路与算法示例

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Serendipity·y 发表于 2022/02/17 00:01:53 2022/02/17
【摘要】 一、题目描述 罗马数字包含以下七种字符: I, V, X, L,C,D 和 M: 字符数值I1V5X10L50C100D500M1000 例如, 罗马数字 2 写做 II ,即为两个并列的 1;12 ...

一、题目描述

  • 罗马数字包含以下七种字符: I, V, X, L,C,D 和 M:
字符 数值
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
  • 例如, 罗马数字 2 写做 II ,即为两个并列的 1;12 写做 XII ,即为 X + II;27 写做 XXVII, 即为 XX + V + II 。
  • 通常情况下,罗马数字中小的数字在大的数字的右边。但也存在特例,例如 4 不写做 IIII,而是 IV;数字 1 在数字 5 的左边,所表示的数等于大数 5 减小数 1 得到的数值 4 ;同样地,数字 9 表示为 IX;这个特殊的规则只适用于以下六种情况:
    • I 可以放在 V (5) 和 X (10) 的左边,来表示 4 和 9;
    • X 可以放在 L (50) 和 C (100) 的左边,来表示 40 和 90;
    • C 可以放在 D (500) 和 M (1000) 的左边,来表示 400 和 900;
  • 现在给你一个整数,将其转为罗马数字。
  • 示例 1:
输入: num = 3
输出: "III"

  
 
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  • 示例 2:
输入: num = 4
输出: "IV"

  
 
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  • 示例 3:
输入: num = 9
输出: "IX"

  
 
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  • 示例 4:
输入: num = 58
输出: "LVIII"
解释: L = 50, V = 5, III = 3

  
 
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  • 示例 5:
输入: num = 1994
输出: "MCMXCIV"
解释: M = 1000, CM = 900, XC = 90, IV = 4

  
 
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  • 2
  • 3

二、题目分析

① 罗马数字符号

  • 罗马数字由 7 个不同的单字母符号组成,每个符号对应一个具体的数值。此外,减法规则(如问题描述中所述)给出了额外的 6 个复合符号,这给了我们总共 13 个独特的符号(每个符号由 1 个或 2 个字母组成),如下所示:
M -> 1000
D -> 500
C -> 100
L -> 50
X -> 10
V -> 5
I -> 1

CM -> 900
CD -> 400
XC -> 90 
XL -> 40 
IX -> 9
IV -> 4

  
 
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② 罗马数字的唯一表示法

  • 从一个例子入手,考虑 140 的罗马数字表示,下面哪一个是正确的?
L + L + XL = 50 + 50 + 40 = 140
C + X + X + X + X = 100 + 10 + 10 + 10 + 10 = 140
C + XL = 100 + 40 = 140
XC + L = 90 + 50 = 140
XL + XL + XL + X + X = 40 + 40 + 40 + 10 + 10 = 140
C + X + X + V + V + V + V = 100 + 10 + 10 + 5 + 5 + 5 + 5 = 140

  
 
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  • 我们用来确定罗马数字的规则是:对于罗马数字从左到右的每一位,选择尽可能大的符号值。对于 140,最大可以选择的符号值为 C=100;接下来,对于剩余的数字 40,最大可以选择的符号值为 XL=40;因此,140 的对应的罗马数字为 C + XL = CXL。

三、算法示例

① 模拟

  • 思路:
    • 根据罗马数字的唯一表示法,为了表示一个给定的整数 num,我们寻找不超过 num 的最大符号值,将 num 减去该符号值,然后继续寻找不超过 num 的最大符号值,将该符号拼接在上一个找到的符号之后,循环直至 num 为 0,最后得到的字符串即为 num 的罗马数字表示。
    • 编程时,可以建立一个数值-符号对的列表 valueSymbols,按数值从大到小排列,遍历 valueSymbols 中的每个数值-符号对,若当前数值 value 不超过 num,则从 num 中不断减去 value,直至 num 小于 value,然后遍历下一个数值-符号对;若遍历中 num 为 0 则跳出循环。
  • 算法示例:
    • C 代码:
const int values[] = {1000, 900, 500, 400, 100, 90, 50, 40, 10, 9, 5, 4, 1};
const char* symbols[] = {"M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I"};

char* intToRoman(int num) {
    char* roman = malloc(sizeof(char) * 16);
    roman[0] = '\0';
    for (int i = 0; i < 13; i++) {
        while (num >= values[i]) {
            num -= values[i];
            strcpy(roman + strlen(roman), symbols[i]);
        }
        if (num == 0) {
            break;
        }
    }
    return roman;
}

  
 
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    • Python 代码:
class Solution:

    VALUE_SYMBOLS = [
        (1000, "M"),
        (900, "CM"),
        (500, "D"),
        (400, "CD"),
        (100, "C"),
        (90, "XC"),
        (50, "L"),
        (40, "XL"),
        (10, "X"),
        (9, "IX"),
        (5, "V"),
        (4, "IV"),
        (1, "I"),
    ]

    def intToRoman(self, num: int) -> str:
        roman = list()
        for value, symbol in Solution.VALUE_SYMBOLS:
            while num >= value:
                num -= value
                roman.append(symbol)
            if num == 0:
                break
        return "".join(roman)

  
 
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  • 复杂度分析:
    • 时间复杂度:O(1),由于 valueSymbols 长度是固定的,且这 13 字符中的每个字符的出现次数均不会超过
      3,因此循环次数有一个确定的上限。对于本题给出的数据范围,循环次数不会超过 15 次;
    • 空间复杂度:O(1)。

② 硬编码数字

  • 思路:
    • 回顾上文中列出的 13 个符号,可以发现:
      • 千位数字只能由 M 表示;百位数字只能由 C,CD,D 和 CM 表示;
      • 十位数字只能由 X,XL,L 和 XC 表示;
      • 个位数字只能由 I,IV,V 和 IX 表示。
    • 这恰好把这 13 个符号分为四组,且组与组之间没有公共的符号。因此,整数 num 的十进制表示中的每一个数字都是可以单独处理的。
    • 进一步地,我们可以计算出每个数字在每个位上的表示形式,整理成一张硬编码表,如下图所示,其中 0 对应的是空字符串。

在这里插入图片描述

    • 利用模运算和除法运算,可以得到 num 每个位上的数字:
thousands_digit = num / 1000
hundreds_digit = (num % 1000) / 100
tens_digit = (num % 100) / 10
ones_digit = num % 10

  
 
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    • 最后,根据 num 每个位上的数字,在硬编码表中查找对应的罗马字符,并将结果拼接在一起,即为 num 对应的罗马数字。
  • 算法实现:
    • C 示例:
const char* thousands[] = {"", "M", "MM", "MMM"};
const char* hundreds[] = {"", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"};
const char* tens[] = {"", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"};
const char* ones[] = {"", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"};

char* intToRoman(int num) {
    char* roman = malloc(sizeof(char) * 16);
    roman[0] = '\0';
    strcpy(roman + strlen(roman), thousands[num / 1000]);
    strcpy(roman + strlen(roman), hundreds[num % 1000 / 100]);
    strcpy(roman + strlen(roman), tens[num % 100 / 10]);
    strcpy(roman + strlen(roman), ones[num % 10]);
    return roman;
}

  
 
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    • Python 示例:
class Solution:

    THOUSANDS = ["", "M", "MM", "MMM"]
    HUNDREDS = ["", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"]
    TENS = ["", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"]
    ONES = ["", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"]

    def intToRoman(self, num: int) -> str:
        return Solution.THOUSANDS[num // 1000] + \
            Solution.HUNDREDS[num % 1000 // 100] + \
            Solution.TENS[num % 100 // 10] + \
            Solution.ONES[num % 10]

  
 
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  • 复杂度分析:
    • 时间复杂度:O(1),计算量与输入数字的大小无关;
    • 空间复杂度:O(1)。

文章来源: blog.csdn.net,作者:Serendipity·y,版权归原作者所有,如需转载,请联系作者。

原文链接:blog.csdn.net/Forever_wj/article/details/122072063

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