【数据结构与算法】之深入解析“缺失的第一个正数”的求解思路与算法示例

一、题目要求

• 给你一个未排序的整数数组 nums ，请你找出其中没有出现的最小的正整数。
• 请你实现时间复杂度为 O(n) 并且只使用常数级别额外空间的解决方案。
• 示例 1：

输入：nums = [1,2,0]
输出：3

  

 

  
1
  
2
 

• 示例 2：

输入：nums = [3,4,-1,1]
输出：2

  

 

  
1
  
2
 

• 示例 3：

输入：nums = [7,8,9,11,12]
输出：1

  

 

  
1
  
2
 

• 提示：
• • 1 <= nums.length <= 5 * 105
• • -231 <= nums[i] <= 231 - 1

二、求解算法

① 哈希表（空间复杂度不符合要求）

• 本题的难点在：只能使用常数级别的额外空间，在这个限制下本题的思路有一个非正式的名称：原地哈希。
• 其实我们只需从最小的正整数 1 开始，依次判断 2、 3 、4 直到数组的长度 N 是否在数组中；
• 如果当前考虑的数不在这个数组中，我们就找到了这个缺失的最小正整数；
• 由于我们需要依次判断某一个正整数是否在这个数组里，我们可以先把这个数组中所有的元素放进哈希表。接下来再遍历的时候，就可以以 O(1) 的时间复杂度判断某个正整数是否在这个数组；
• 由于题目要求只能使用常数级别的空间，而哈希表的大小与数组的长度是线性相关的，因此空间复杂度不符合题目要求。
• Java 示例：

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Solution {

    public int firstMissingPositive(int[] nums) {
        int len = nums.length;

        Set<Integer> hashSet = new HashSet<>();
        for (int num : nums) {
            hashSet.add(num);
        }

        for (int i = 1; i <= len ; i++) {
            if (!hashSet.contains(i)){
                return i;
            }
        }

        return len + 1;
    }
}

  

 

  
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② 二分查找（时间复杂度不符合要求）

• 根据刚才的分析，这个问题其实就是要我们查找一个元素，而查找一个元素，如果是在有序数组中查找，会快一些；
• 因此可以将数组先排序，再使用二分查找法从最小的正整数 1 开始查找，找不到就返回这个正整数；
• 这个思路需要先对数组排序，而排序使用的时间复杂度是 O(NlogN)，是不符合这个问题的时间复杂度要求。
• Java 示例：

import java.util.Arrays;

public class Solution {

    public int firstMissingPositive(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        Arrays.sort(nums);

        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            int res = binarySearch(nums, i);
            if (res == -1) {
                return i;
            }
        }
        return len + 1;
    }

    private int binarySearch(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) >>> 1;
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

  

 

  
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③ 将数组视为哈希表

• 由于题目要求「只能使用常数级别的空间」，而要找的数一定在 [1, N + 1] 左闭右闭（这里 N 是数组的长度）这个区间里。因此，我们可以就把原始的数组当做哈希表来使用。事实上，哈希表其实本身也是一个数组；
• 要找的数就在 [1, N + 1] 里，最后 N + 1 这个元素不用找。因为在前面的 N 个元素都找不到的情况下，才返回 N + 1；
• 那么，可以采取这样的思路：就把 1 这个数放到下标为 0 的位置， 2 这个数放到下标为 1 的位置，按照这种思路整理一遍数组。然后我们再遍历一次数组，第 1 个遇到的它的值不等于下标的那个数，就是要找的缺失的第一个正数。
• 这个思想就相当于我们自己编写哈希函数，这个哈希函数的规则特别简单，那就是数值为 i 的数映射到下标为 i - 1 的位置。

• Java 示例：

public class Solution {

    public int firstMissingPositive(int[] nums) {
        int len = nums.length;

        for (int i = 0; i < len; i++) {
            while (nums[i] > 0 && nums[i] <= len && nums[nums[i] - 1] != nums[i]) {
                // 满足在指定范围内、并且没有放在正确的位置上，才交换
                // 例如：数值 3 应该放在索引 2 的位置上
                swap(nums, nums[i] - 1, i);
            }
        }

        // [1, -1, 3, 4]
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            if (nums[i] != i + 1) {
                return i + 1;
            }
        }
        // 都正确则返回数组长度 + 1
        return len + 1;
    }

    private void swap(int[] nums, int index1, int index2) {
        int temp = nums[index1];
        nums[index1] = nums[index2];
        nums[index2] = temp;
    }
}

  

 

  
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• C++ 示例：

// author:rmokerone
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    int firstMissingPositive(vector<int> &nums) {
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            while (nums[i] != i + 1) {
                if (nums[i] <= 0 || nums[i] > nums.size() || nums[i] == nums[nums[i] - 1])
                    break;
                // 将nums[i] 放置到对应位置上[1,2,3...]
                int idx = nums[i] - 1;
                nums[i] = nums[idx];
                nums[idx] = idx + 1;
            }
        }
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (nums[i] != (i + 1)) {
                return (i + 1);
            }
        }
        return (nums.size() + 1);
    }
};

  

 

  
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文章来源: blog.csdn.net，作者：Serendipity·y，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：blog.csdn.net/Forever_wj/article/details/122769807